【BZOJ3994】约数个数和（莫比乌斯反演）

最新推荐文章于 2020-07-09 17:00:06 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/cjyyb/p/8259543.html

本文解析了BZOJ3994题目——约数个数和，通过莫比乌斯反演求解复杂数学问题。介绍了如何利用积性函数进行线性筛处理，并详细解释了数论分块等技巧。

【BZOJ3994】约数个数和（莫比乌斯反演）

题面

求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)\]
多组数据\((<=50000组)\)
\(n,m<=50000\)
其中\(d(x)\)是\(x\)的约数个数

题解

~~orz ZSY 巨佬~~

根据玄学（我也不知道为什么）的公式
\[d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)==1]\]

所以，所求等于
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{u|i}\sum_{v|j}[gcd(u,v)==1]\]
把枚举因数丢到前面去
\[\sum_{u=1}^n\sum_{v=1}^m[\frac{n}{u}][\frac{m}{v}][gcd(u,v)==1]\]
\(u,v\)看起来很不爽
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\frac{n}{i}][\frac{m}{j}][gcd(i,j)==1]\]

看起来可以莫比乌斯反演一波了

设
\[f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\frac{n}{i}][\frac{m}{j}][gcd(i,j)==x]\]
\[g(x)=\sum_{x|d}f(d)\]
所以
\[g(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\frac{n}{i}][\frac{m}{j}][x|gcd(i,j)]\]
把\(x\)提出去，忽略\(gcd\)的影响
\[g(x)=\sum_{i=1}^{\frac{n}{x}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{x}}[\frac{n}{ix}][\frac{m}{jx}]\]

预处理出\(\sum_{i=1}^n[\frac{n}{i}]\)的值\(g(x)\)就可以\(O(1)\)算

预处理的方式，请参考一道水题约数研究
你就会知道这个玩意的值就是每个数约数个数的前缀和
因为一个数的约数个数是积性函数，可以线性筛
所以这个可以\(O(n)\)预处理

接下来的东西就比较好算了
所求就是\(f(1)\)
\[f(1)=\sum_{d=1}^n\mu(d)g(d)\]
把\(g(i)\)展开
\[f(1)=\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[\frac{n}{i}][\frac{m}{j}]\]
很明显可以数论分块
所以再预处理一下\(\mu(i)\)的前缀和就行了

单词询问的复杂度就是\(O(\sqrt n)\)
总体复杂度\(O(T\sqrt n)\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 50000
inline int read()
{
    int x=0,t=1;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int n,m;
bool zs[MAX+1000];
int pri[MAX+1000],tot,mu[MAX+1000],ys[MAX+1000],dd[MAX+1000];
int smu[MAX+1000],sd[MAX+1000];
void pre()
{
    zs[1]=true;mu[1]=ys[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAX;++i)
    {
        if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1,ys[i]=2,dd[i]=1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAX;++j)
        {
            zs[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                mu[i*pri[j]]=0;
                ys[i*pri[j]]=ys[i]/(dd[i]+1)*(dd[i]+2);
                dd[i*pri[j]]=dd[i]+1;
                break;
            }
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i],ys[i*pri[j]]=ys[i]*2,dd[i*pri[j]]=1;
        }
    }
    for(int i=1;i<=MAX;++i)smu[i]=smu[i-1]+mu[i];
    for(int i=1;i<=MAX;++i)sd[i]=sd[i-1]+ys[i];
}
int main()
{
    pre();
    int T=read();
    while(T--)
    {
        n=read();m=read();
        if(n>m)swap(n,m);
        long long ans=0;
        int i=1,j;
        while(i<=n)
        {
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=1ll*(smu[j]-smu[i-1])*sd[n/i]*sd[m/i];
            i=j+1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

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