贝特朗奇论 用计算机,关于贝特朗悖论的总结 final

关于“贝特朗悖论”的总结

齐尽欢高等研究院2014级理工创新实验班

指导教师王雄博士

摘要：简要分析人们现普遍认同的三种对“贝特朗悖论”的理解方法；介绍关于引入“密度”概念的贝特朗解法；探索解析几何概率问题中出现多解的原因；运用程序验证前两种假设。关键词：贝特朗悖论、等概率事件、随机事件的定界。

一、“贝特朗悖论”的概述

贝特朗悖论的内容如下：考虑一个内接于圆的等边三角形。若随机选方圆上的一条弦，则此弦的长度比三角形的边较长的概率为何？常见的分析有如下三种：

如图a：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。此时假定弦的中心在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间Ω1。

如图b：由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。此时假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间Ω2。

如图c：弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。此时假定弦长被其中心唯一确定，弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3。

二、关于方法三的新思考

在黄晶晶《关于贝特朗悖论的新思考》一文中提到了关于方法三的质疑，创新性联想到“点的密度”的概念，并结合积分的方式，得到与传统理解答案不同的结论。但关于其结果与积分过程，个人不完全认同。

我们知道弦被其中点位置唯一确定。所以只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。但问题出在“弦的中点在大圆内分布均匀”这里，也就是中点在圆内位置都是等可能的。实际上，圆内的点是均匀分布的,但所有直径都要通过圆心O。这样圆心O是无穷多条弦(即直径)的中点, 所以点O作为弦的中点的密度最大，为+∞。而除O点之外，⊙O内其它任一点M ,以M为中点的弦有并且只有一条,这只要连接0M，再过点M作直线SS′垂直于OM且交⊙O于S，S′，易证0M是SS′的中点(存在性得证)。另外，若还有一条弦 HH′以M为中点，则由垂径定理知HH′⊥OM。这样，在平面上过M就会有两条直线与OM垂直，矛盾。所以，弦的中点在圆内的分布，在O 点是无穷多条弦(直径)的中点在这里迭加，密度为+∞；而圆内其它点都只是圆内某