dtft变换的性质_DTFT及其性质

离散时间傅里叶变换(DTFT)

我们定义离散时间傅里叶变换为 [

X(e^{jw})=sum_{n=-infty}^{infty}x[n]e^{-jwn}

]

其实我在书上看到这里的时候不太理解为什么离散傅里叶变换要这么定义，其实书上直接给出这么一个公式有一点马后炮的感觉，我想知道这个公式为什么这么定义，想知道的是一个设计的过程，这么定义为什么能够给出频谱密度，所以接下来谈谈我的理解。

说到频谱密度的话，我们其实对连续傅里叶变换比较了解，并且知道为什么连续傅里叶变换为什么能反映连续信号的频谱密度，所以我打算从连续时间信号进行入手。

考虑离散时间信号(x[n])是对连续时间信号(x_a(t))的抽样,抽样的周期为(T_s),得到抽样信号(hat{x}_a(t)),假设连续时间信号的傅里叶变换为(X(jOmega))(在接下来的表示中，连续时间信号的频域符号用(Omega)表示，离散时间信号频域符号用(w)表示)，那么抽样信号(hat{x}_a(t))的傅里叶变换为 [

hat{x}_a(t)=x_a(t)sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-nT_s)=sum_{n=-infty}^{infty}x_a(nT_s)delta(t-nT_s)

]

由于(delta(t-nT_s))的傅里叶变换为(e^{-jOmega nT_s}),所以 [

hat{X}(jOmega)=sum_{n=-infty}^{infty}x_a(nT_s)e^{-jOmega nT_s}

]

仔细观察这个表达式，虽然从这个表达式中看不出(hat{X}_a(jOmega))与(X(jOmega))的关系，但是敏锐的人已经发现了这个表达式与我们所定义的离散时间傅里叶变换之间的联系，如果用(x[n])替换(x[nT_s])(这样的替换显然是合理的)，并且令(w=Omega T_s),我们就可以得到离散时间傅里叶变换的表达式 [

X(e^{jw})=sum_{n=-infty}^{infty}x[n]e^{-jwn}

]

我们似乎解决了(DTFT)的由来，但是没有解决为什么(DTFT)能够表示信号的频谱，为了解决这个问题，我们还是要研究一下(hat{X}(jOmega)),由于 [

hat{x}_a(t)=x_a(t)sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-nT_s)

]

而 [

sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-nT_s)xrightarrow{CTFT}frac{2pi}{T_s}sum_{n=-infty}^{infty}delta(Omega-nOmega_s), , Omega_s=frac{2pi}{T_s}

]

这个傅里叶变换不熟悉的去翻阅资料，因为在这里推导的话可能会破坏思路的连续性，所以就不进行推导了。所以得到(hat{X}(jOmega))的另一表达形式 [

begin{aligned}

hat{X}(jOmega)&=frac{1}{2pi}X(jOmega)*frac{2pi}{T_s}sum_{n=-infty}^{infty}delta(Omega-nOmega_s)\

&=frac{1}{T_s}sum_{n=-infty}^{infty}X(j(Omega -nOmega_s))

end{aligned}

]

看到这里就明朗了，从表达式上看，(hat{X}(jOmega))与(X(jOmega))的关系为(hat{X}(jOmega))是(X(jOmega))以(Omega_s)为周期进行周期延拓。如果(Omega_s)足够大(如果知道抽样定理，就知道(Omega_s geq 2Omega_m)即可，(Omega_m)是(x_a(t))的最高频率)使得(hat{X}(jOmega))没有发生混叠的话，那么(X(jOmega))只是(hat{X}(jOmega))的一个周期。

根据 [

X(e^{jw})=hat{X}(jOmega)vert_{w=Omega T_s}

]

所以就可以知道为什么(X(e^{jw}))为什么可以表示信号的频谱。

因为(hat{X}(jOmega))是一个周期信号，根据