快速幂-(POJ3641,POJ1995)-算法笔记

快速幂原理

快速幂顾名思义就是快速计算$x^n$的方法。
我们用一个栗子来了解其原理。

$x^n$，首先我们试着用二进制表示n，如n=b1010
n=b10+b1000 即n=2+8
自然有$x^n=x^2\ast x^8$

接着我们这样想，n的二进制表示每一位都对应着$x^2,x^4,\dots x^8$,如果该位为1则乘到结果中去，否则不乘。
即：
$x^n=x^{1\ast 0}\ast x^{2\ast 1}\ast x^{4\ast 0}\ast x^{8\ast 1}$
上式很有规律，都利用到$x^{2^i}$。

试想如果我们求出了$x^2$之后保存这个结果，然后$x^4=x^2\ast x^2$，保存$x^4$，接着计算$x^8=x^4\ast x^4$。
就可以求出二进制对应的每一位的值，然后再决定是乘0还是1。

这种方法的时间复杂度取决于n的二进制位数，即O(logn)
而从一开始$x$乘到$x^n$次，这种时间复杂度是O(n)。

(公式有错误，现已更正，卑微地向大家说声对不起，鞠躬)

快速幂例子

typedef long long ll;
//x^n mod a快速幂方法
ll pow_mod(ll x,ll n, ll mod){
    ll res=1;
    while(n>0){
        if(n&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

例题两道

POJ3641

Description

Fermat’s theorem states that for any prime number p and for any integer a > 1, ap = a (mod p). That is, if we raise a to the pth power and divide by p, the remainder is a. Some (but not very many) non-prime values of p, known as base-a pseudoprimes, have this property for some a. (And some, known as Carmichael Numbers, are base-a pseudoprimes for all a.)

Given 2 < p ≤ 1000000000 and 1 < a < p, determine whether or not p is a base-a pseudoprime.

Input

Input contains several test cases followed by a line containing “0 0”. Each test case consists of a line containing p and a.

Output

For each test case, output “yes” if p is a base-a pseudoprime; otherwise output “no”.

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
//x^n 快速幂方法
ll pow_mod(ll x,ll n, ll mod){
    ll res=1;
    while(n>0){
        if(n&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
bool ispri(long long num)
{
    for(int i=2;i*i<num;i++)
    if(num%i==0)
        return false;
    return true;
}
//POJ Pseudoprime numbers
int main(){
    while(true){
        ll p,a;
        cin >> p>>a;
        if(p==0 && a==0) break;
        ll res=pow_mod(a, p, p);
        if(res==a && !ispri(a))
            cout<<"yes"<<endl;
        else
            cout<<"no"<<endl;
        
    }
    return 0;
}

POJ1995

Description

人是不同的。有些人偷偷看充满了有趣的女孩的杂志，有些人在地窖里制造原子弹，有些人喜欢使用WINDOWS，有些人喜欢数学游戏。最新的市场调查显示，这一细分市场目前被低估了，而且缺乏这样的游戏。这种游戏因此被纳入了科科达克运动。运动的遵循的规则:

每个玩家选择两个数字Ai和Bi，并把它们写在一张纸条上。其他人看不到这些数字。在一个特定的时刻，所有的玩家都会向其他玩家展示他们的数字。目标是确定包括自己在内的所有玩家的所有表达的总和，并用给定的数字M确定除法后的余数。获胜者是首先决定正确结果的人。根据玩家的经验，可以通过选择更高的数字来增加难度。

你应该编写一个程序来计算结果，并找出谁赢了这场比赛。

Input

输入由Z赋值组成。它们的数目由出现在输入的第一行上的单个正整数Z给出。然后分配如下。每个赋值都以包含一个整数M (1 <= M <= 45000)行开始。总数将除以这个数字。下一行包含玩家数H(1 <= H <= 45000)。接下来就是H行。在每一行上，正好有两个数字Ai和Bi被空间隔开。两个数不能同时等于零。

Output

对于每个组合，只有一条输出线。在这条线上，有个数字，是表达的结果。

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
//x^n 快速幂方法
ll pow_mod(ll x,ll n, ll mod){
    ll res=1;
    while(n>0){
        if(n&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

int main(){
    ll T;
    cin>>T;
    while(T>0){
        T--;
        ll M,H;
        cin>>M;
        cin>>H;
        ll res=0;
        for(int i=0;i<H;i++){
            ll a,b;
            cin>> a>>b;
            res=(res+pow_mod(a, b, M))%M;
        }
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}