概率论易忘公式，简单随机样本=独立同分布

五大公式

德摩根律：

全概率公式(分类累加)

贝叶斯公式(条件)

均可用归1性与非负性验证

1.连续型随机变量

2.多维随机变量

 3.边缘分布与条件分布、独立性（二维X、Y）

F(x)=P(X<=x)

归1性：边缘分布律和为1，联合分布律和为1，同理条件分布律。

             边缘分布函数最大值为1，联合函数最大值为1；最小均为0；同理条件分布函数。

非负性：边缘分布律和联合分布律均>=0;边缘分布和联合函数值最小均为0。

相关概念：

边缘分布律（分布函数），只考虑x（y）的分布律。

联合分布律，x,y(x且y)发生的分布律。

条件分布律，在X=x事件中（变相更换了样本空间），以y值作的分布律。

边缘概率密度函数，只考虑x（y）的概率密度函数。

联合概率密度函数，x,y(x且y)发生的概率密度函数。

条件概率密度函数，在X=x事件中（变相更换了样本空间），以y值作的概率密度函数。

关系：

分布函数求导的分布概率密度函数；

联合分布函数=联合概率密度函数对x、y同时积分；

x的边缘概率密度函数=联合概率密度函数对y积分；消去谁对谁积分

条件=联合/边缘，条件*边缘=联合;

Ex=随机变量*对应概率密度函数积分;离散：分布律*相应随机变量累加即可；可泛化理解

Dx=E[X²]-(E[X])²。

常用x∈R,对正太分布概率密度积分=1，对积分=Π^0.5

注：1.边缘分布律和边缘分布函数差不多意思，只不过前者更强调离散变量，或者强调连续型。

        2.积分难点确定实际的积分上下限。

 1.​不独立时（独立时也成立）：

上述关系均成立

2.独立时：积事件

联合=边缘*边缘，对分布函数，概率密度均成立。

独立判断：

 特征：

相互独立的离散变量，分布律各行各列成比例。

3.特别记忆

 

4.随机变量函数的分布

1.一维

复合函数型一维随机变量函数的分布，即y=cx（等等其他形式）,用y替代原来的变量。

遵循以下原则：

1.F(x)=P(X<=x)，特别是此原则，反解x

2.归1性：边缘分布律和为1，联合分布律和为1，同理条件分布律。

             边缘分布函数最大值为1，联合函数最大值为1；最小均为0；同理条件分布函数。

3.非负性：边缘分布律和联合分布律均>=0;边缘分布和联合函数值最小均为0。

设 X为连续型随机变量，其概率密度为 f (x)，且g 为连续函数，则Y = g(X )也
为连续型随机变量，求其概率密度函数.基本的方法是分布函数法，即根据分布函数的
定义直接计算出随机变量Y 的分布函数，再对其求导即可得概率密度.

2.二维

1.离散

此时随机变量Z = g(X ,Y)也为离散型，求其分布律只需找出其所有可能的取值，
再分别计算取每组取值所对应的概率即可.

2.连续

消去x(y),对x（y）积分

5.数字特征

Ex=随机变量*对应概率密度函数积分;离散：分布律*相应随机变量累加即可；可泛化理解Exy,Exx;

Dx=E[X²]-(E[X])²;

Cov(X,Y)=Exy-ExEy=E{[X-Ex][Y-Ey]};

相关系数Rxy=Cov(X,Y)/[(Dx+Dy)^0.5],[-1,1];

D(X +Y ) =D(X ) +D(Y ) + 2Cov(X,Y ),D(X -Y ) =D(X ) +D(Y )- 2Cov(X,Y ).

对二维正态分布性质的掌握，当(X ,Y )服从二维正态分布时，X,Y 的任意线性组合aX +bY 均服从一维正态分布，这里我们不需要记忆具体的参数，只需要结合数字特征的计算公式，求出aX + bY 的期望和方差即可.这一性质的作用在于将二维的问题转化为一维的问题，从而简化计算过程.

 

 

 6.大数定律和中心极限定理

1.大数定律---注意不等式是先内>=,外<=

 2.中心极限定理---拟合正态分布，/标准差

 

7.数理统计

证明：样本方差n-1系数样本方差公式为什么分母是n-1_weilaidedakejilu的博客-优快云博客https://blog.youkuaiyun.com/weilaidedakejilu/article/details/118853913?spm=1001.2014.3001.5502

 标准差的期望才是方差

 

抽样分布 ---三

 

F分布分子分母项数不一致

 计算的相关公式：

E的求法不变，定积分。

+前面的统计量 

8.参数估计---两种方法

1.矩估计法

Ex的反函数，代入随机变量平均值求值。 

2.最大似然估计法---驻点

不一定要求导，看L函数在定义域内是否单调。

离散：n个样本值对应的分布律相乘

样本值的相同个数决定相应分布律的幂数，求对数In后更好求导=0。

连续：概率密度函数参数部分n次幂*样本代入概率密度函数变量部分累乘，求对数In后更好反解.

求导求驻点，无则端点即是最大值。

3.估计量的评选标准

 记住此等式即可，其他的用前面的公式定理。

4.区间估计---置信区间

相关计算理解