金华集训Day2——宇

无FAK说

普通分治

概念

通过将区间分成两个区间，来将问题分成两个⼦问题

T1

\qquad 求所有区间的最⼤值之和

用$stl$处理最值，复杂度为$O(n)$

T2

\qquad 求所有区间的最⼤值×最⼩值之和

T3

\qquad 求所有区间的 gcd 之和

T4

\qquad 求⼆维平⾯上最近点对

T5

\qquad 分治多项式乘法

旅行者

\qquad 给定⼀张$n\ast m$的带正权⽹格图，有$Q$组询问，每次询问两对点之间的最短路
$1<=n\ast m，Q<=50000$

连续区间

\qquad 给定⼀个排列$p[1\dots n]$，求有⼏个区间$[L,R]$满⾜$p[L\dots R]$排序后是连续的
$n<=500000$

XOR最⼩⽣成树

\qquad 给定$n$个点，第$i$个点的点权是$a[1\dots n]$，现在定义边$(i,j)$的权值是$a[I]xora[j]$，求最⼩⽣成树

区间统计

\qquad 给定$a[1\dots n]$，求有⼏个区间$[L,R]$满⾜$a[L]ora[L+1]\dots ora[R]>max(a[L\dots R])$
$N<=3\ast 10^5$
$a[i]<2^{30}$

二分

概念

⼆分其实是对答案分治

分数规划问题

T1

\qquad 给定$n$个点$x[1\dots n]$，要求将它划分成尽量少使得每个区间的最⼩圆覆盖的半径$<=S$

T2

\qquad 给⼀个序列$a[1\dots n]$，要求选出恰好$K$个互不相交的区间，使得权值之和最⼤

整体⼆分

\qquad 有$N$个位置，$M$个操作，每次操作是$1abc$，或者$2abk$
$1abc$表示在第$a$个位置到第$b$个位置每个位置都加⼊⼀个数$c$
$2abk$表示询问第$a$个位置到第$b$个位置的第$k$⼤的值
$N,M,c<=50000$

CDQ分治

把$[L,R]$分成$[L,mid]$和$[mid+1,R]$
考虑左边对右边的贡献

三维偏序

\qquad 矩阵加，矩阵求和

缺 1 背包问题

\qquad 给定$n$个物品的重量$W[i]$和价值$V[i]$，$Q$次询问，每次询问对除了第$i$个物品以外的物品$01$背包后重量不超过$S$的最⼤价值$n,W,V<=2000.Q<=1000000$

缺点最短路问题

\qquad 给定$n$个点的带权⽆向图，$Q$次询问，每次询问$X$到$Y$的不经过$Z$的最短路⻓度，$N<=200，Q<=1000000$

\qquad 解递推式$f[n]=sum(f[i]\ast g[n-i])$

点分治

区间分治的复杂度保证是由于每次分成$<=\frac{n}{2}$的区间
树每次分成$<=\frac{n}{2}$的⼦树

T1

\qquad 求所有边数$<=L$的链的权值之和

T2

\qquad 给定⼀棵树，有$Q$次询问，每次询问离$x$距离$<=L$的点数

T3

\qquad 给定⼀棵树，每个点有物品重量$W[i]$和价值$V[i]$，求价值最

T4

\qquad ⼤的重量不超过$S$的连通块，$n,S<=2000$

时间分治

加边删边询问两个点是否连通

图论基础术语

出度，⼊度，度数
⽆向图，有向图，欧拉回路，哈密尔顿回路，环，简单环
连通块，强连通块，点双连通分量，边双连通分量
深度优先搜索，⼴度优先搜索

BFS

T1

\qquad 给定⼀张有向图，每条边的⻓度为$1$，求$1$号点到其他点的最短路⻓度

T2

\qquad 给定⼀张有向图，每条边的⻓度为$0$或$1$，求$1$号点到其他点的最短路⻓度

T3

\qquad 给定⼀张有向图，每条边的⻓度为$1$或$2$，求$1$号点到其他点的最短路⻓度

Dijkstra

原理：当前$d[x]$最⼩的$x$⼀定已经确定了最短路
扩展：当$dis[x]$的⼤⼩在$10^7$内时怎么做

Bellman-Ford算法

SPFA 算法

⽤⼀个队列维护有哪些点等待更新
每次取出⼀个点$x$去更新所有出边$(x,y,w)$，如果$y$被更新了就压⼊队列
时间复杂度：$O(nm)$

_{如何卡SPFA算法}

_{搞个⾏很少的⽹格图，竖着的边权很⼩，横着的边权很⼤
https://blog.youkuaiyun.com/yfzcsc/article/details/77623365}

判断是否存在负环

判断最短路的边数是否$>n$
判断⼀个点是否⼊队超过$n$次