SAR信号处理重要工具-傅里叶变换

这节内容主要介绍SAR信号处理中一个重要的工具-傅里叶变换。
前言
在SAR系列文章中，信号的傅里叶变换分析经常出现。那傅里叶变换到底是什么，为什么在信号处理领域它很重要，它的巧妙之处在哪里呢，在哪些场合会用到它呢。下面本文将从个人学习和研究经历，谈谈我对傅里叶变换的理解，一方面总结这方面的经验，加深自身理解，另一方面希望能对想要学习信号处理的学习者能够有所启发。

为了使傅里叶变换的介绍全面的同时重点突出，所介绍的内容会详略不一，后续根据反馈情况会有所补充。

一、傅里叶变换的根源
1.1 历史根源
傅里叶变换的思想最先是由法国数学家和物理学家傅里叶提出的，他在描述温度分布时认为任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成，而这种信号分解的方式就是傅里叶级数，也是傅里叶变换理解的基础。

1.2 技术根源
这里主要从信号处理的角度分析傅里叶变换，信号函数一般认为是时间的函数。分析的系统为线性时不变系统，该系统满足，若系统输入为时输出为，输入为时输出为,则当系统输入为时，系统输出为。

冲激函数
对于一般的时间信号，信号的幅度随时间变化，可以用冲激函数来提取/表示任意时刻的信号幅度信息，也就是任意一个信号可以由一系列冲激函数表示：

此时可以认为是待分解的函数集，是对应分解的幅度分量。因此，冲激函数是从时域的角度来将信号进行分解的，而且只是单纯的从时域信号的幅度对信号进行的分解。现在考虑线性时不变系统冲激响应为（即输入为冲激函数时系统的输出），由于系统时不变，则的系统响应为，系统线性，则的响应为，由此可以得到任意输入信号，系统的输出为：

其中为冲激响应，描述的是系统对信号幅度的影响，输出为系统冲激响应与输入信号的卷积。

阶跃函数
除了用冲激函数表示，信号还可以用阶跃函数来表示：

其中为函数的导数。此时可以认为是待分解的函数集，是对应分解的幅度分量。因此，阶跃函数也是从时域的角度来将信号进行分解的，而且是从时域信号的幅度变化率对信号进行的分解。现在考虑线性时不变系统阶跃响应为（即输入为阶跃函数时系统的输出），则任意输入信号，系统的输出为：

其中为阶跃响应，描述的是系统对信