线性映射与三维曲面参数化基础解析

1、证明映射 R → R : x ↦ ax + b 是线性的，当且仅当 b = 0。

根据线性映射的定义，设 $ U $ 和 $ V $ 是向量空间，映射 $ L : U \to V $ 是线性的需满足：

1. 对于所有 $ u, v \in U $，有
   $$
   L(u + v) = L(u) + L(v)
   $$

2. 对于所有 $ \alpha \in \mathbb{R} $ 和 $ u \in U $，有
   $$
   L(\alpha u) = \alpha L(u)
   $$

考虑映射 $ L: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ 定义为 $ x \mapsto ax + b $。若该映射是线性的，取 $ x_1, x_2 \in \mathbb{R} $，则：

• $ L(x_1 + x_2) = a(x_1 + x_2) + b $
• $ L(x_1) + L(x_2) = ax_1 + b + ax_2 + b $

由 $ L(x_1 + x_2) = L(x_1) + L(x_2) $ 可得：
$$
a(x_1 + x_2) + b = ax_1 + b + ax_2 + b
$$
化简得：
$$
b = 0
$$

反之，当 $ b = 0 $ 时，映射变为 $ x \mapsto ax $。对于任意 $ x_1, x_2 \in \mathbb{R} $，有：
$$
L(x_1 + x_2) = a(x_1 + x_2) = ax_1 + ax_2 = L(x_1) + L(x_2)
$$

对于任意 $ \alpha \in \mathbb{R} $ 和 $ x \in \mathbb{R} $，有：
$$
L(\alpha x) = a(\alpha x) = \alpha(ax) = \alpha L(x)
$$

因此满足线性映射的定义。

结论： 映射 $ \mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto ax + b $ 是线性的当且仅当 $ b = 0 $。

2、考虑在三维空间中由方程 z = xy 给出的曲面。求该曲面的一个参数化表示。

可令 $ x = u $，$ y = v $，则 $ z = uv $，所以该曲面的一个参数化表示为
$$
\mathbf{r}(u, v) = (u, v, uv)
$$
其中 $ (u, v) \in \mathbb{R}^2 $。

3、考虑由方程z = xy给出的R³中的曲面。求该曲面的隐式表示。

该曲面的隐式表示为f(x, y, z)=xy - z = 0。

4、验证波动方程确实是双曲型的，热传导方程是抛物型的。

对于二阶偏微分方程
$$
A\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} + B\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} + C\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} + \cdots = 0
$$
其判别式 $ B^{2} - 4AC $ 决定方程类型：
- 当 $ B^{2} - 4AC > 0 $ 时，为双曲型；
- 当 $ B^{2} - 4AC = 0 $ 时，为抛物型。

波动方程

波动方程为
$$
\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}} = \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}
$$
可写成
$$
\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}} - \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = 0
$$
此时 $ A = -1 $，$ B = 0 $，$ C = 1 $，判别式为
$$
B^{2} - 4AC = 0 - 4 \times (-1) \times 1 = 4 > 0
$$
因此波动方程是 双曲型 的。

热传导方程

热传导方程为
$$
\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}
$$
可写成
$$
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} - \frac{\partial f}{\partial t} = 0
$$
此时 $ A = 1 $，$ B = 0 $，$ C = 0 $，判别式为
$$
B^{2} - 4AC = 0 - 4 \times 1 \times 0 = 0
$$
因此热传导方程是 抛物型 的。

5、实现卡特穆尔 - 克拉克细分算法

如果改变原始网格的连接性，实现起来会很困难。最简单的方法是：

1. 先计算为边和面创建的新顶点以及旧顶点的新位置；
2. 随后利用这些信息创建一个新的网格。

6、实现 Loop 细分

Loop细分

Loop细分是基于三角形、原始且近似的方案。

• 在规则区域，Loop细分在极限情况下会重现C2四次三角盒样条。
• 在奇异顶点处，极限曲面是C1。

若使用基于边的表示法来表示网格：

• 边细分有困难。
• 构建新网格更简单。
• 不用记录顶点新旧、边是否已分割等情况。
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