24、傅里叶变换与傅里叶变换光谱学解析

傅里叶变换与傅里叶变换光谱学解析

1. 傅里叶变换基础

傅里叶变换在信号处理、光学等众多领域有着广泛的应用。我们先来看一些不同函数的傅里叶变换情况。
- sin z/z 函数的傅里叶变换 ：原始函数为 sin z/z 函数，取 184 个点进行复傅里叶变换，会得到一个双边阶跃函数。再进行逆复变换，又能重现原始函数。在这个过程中，原始函数的虚部为零，变换后虚部出现，逆变换后虚部又变为零。相关文件为 F8FTSINC183S，仅存于 CD 中。
- 高斯函数的傅里叶变换 ：
- 当点数为 256 时，原始函数为高斯函数，a 取值为 50 和 100。进行复傅里叶变换后，结果仍是高斯函数，但形状更窄。逆变换能重现原始函数，同样原始函数虚部为零，变换后出现，逆变换后归零。相关文件为 F9FTGAUSS，仅存于 CD 中。
- 当点数为 326 时，情况类似，原始函数为 a 取值 50 和 100 的高斯函数，复傅里叶变换得到更窄的高斯函数，逆变换重现原函数，虚部变化规律相同。相关文件为 F10FTGAUSGS，仅存于 CD 中。

2. 两个函数乘积的傅里叶变换与卷积积分

当函数 G(ν) 是两个函数 g1(ν) 和 g2(ν) 的乘积，即 G(ν) = g1(ν)g2(ν) 时，其傅里叶变换 S(y) 可以用卷积积分来表示。
- 傅里叶变换公式 ：
- (S(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}G(\nu) \exp(i2\pi\nu y)d\nu)
- (s1(y) = \int