编程珠玑——Floyd随机抽样

对于n个样本，如何均匀随机的取出m个样本？即n个样本中每个样本都能有m/n的概率被取中。


1.简单插入取样


   这是最基本，最直观的方法。在一个初始为空的集合中插入1~n的随机整数，知道个数为m个为止。但这个方法有个弱点，就是要插入一个数时，判断集合中是否存在该数，如果其存在，则要继续取样直到取到一个不在原集合中的数，重复取样需要很大的开销，而且越到后来开销越大。


2.Floyd取样（将第n个数插入与前n-1个数的样本的选取关联起来）


       Floyd取样是大名鼎鼎的Robert W. Floyd提出来的。其基本思想：当已经在[1,n-1]个区间中已随机取出m-1个样本时，这时，生成一个1~n的随机数，如果该数落在原来的m-1个样本中，则样本集合加入n；如果不落在原来的m-1个样本中，那么就将随机数加入已取样本集合。这样的算法复杂度为O(m）


    证明：归纳法证明
     假设floyd算法在[m-1,n-1]时任意一个数被选中的概率是m-1/n-1. 则当[m,n]时
     1. 对于第n个数，其被选中的概率为1/n+(m-1)/n=m/n; n被选中有两个可能，一个是随机数在m-1个样本里，则概率为
         m-1/n。另一种是不在，则将随机数加入，随机数为n的概率为1/n。所以总的概率为1/n+(m-1)/n=m/n;
     2. 对于前面 n-1个数中的任意一个数，总被选中的概率P=上一轮被选中的概率+上一轮未被选中的概率*本轮被选中的总概率
         易得P=(m-1)/(n-1)*1+(n-m)/(n-1)*1/n=m/n.
          上一轮被选中的概率：由[m-