WEEK4 周记 作业C题——二分算法_TT的神秘礼物【二分答案】

WEEK4 周记 作业C题——二分算法_TT的神秘礼物【二分答案】

一、题意

1.简述

给定一个 N 个数的数组 cat[i]，并用这个数组生成一个新数组 ans[i]。新数组定义为对于任意的 i, j 且 i != j，均有 ans[] = abs(cat[i] - cat[j])，1 <= i < j <= N。试求出这个新数组的中位数，中位数即为排序之后 (len+1)/2 位置对应的数字，’/’ 为下取整。

2.输入格式

多组输入，每次输入一个 N，表示有 N 个数，之后输入一个长度为 N 的序列 cat， cat[i] <= 1e9 , 3 <= n <= 1e5。

3.输出格式

输出新数组 ans 的中位数。

4.样例

Input

4
1 3 2 4
3
1 10 2

Output

1
8

二、算法

主要思路

采用二分答案的思路，通过对$0$~$10^9$进行二分，找到排名是“中位”的数。

---

显然，在给定一个整数的情况下确定其排名（在$ans$数组中有多少元素小于等于这个整数）的方法至关重要，也是这个题必不可少的一环。由题意可知，
$$ans[n]=|cat[j]-cat[i]|(1\le i<j\le N)$$为了去掉绝对值，可以将$cat$数组按从小到大的顺序排序，那么$$ans[n]=cat[j]-cat[i](1\le i<j\le N)$$我们给定一个整数$P$，我们只需要找出所有的$cat[j]-cat[i]\le P$，就能确定$P$在$ans$中的排名（当然$P$可能本身并不在$ans$数组中），这个排名是大于等于1的。对$cat[j]-cat[i]\le P$进行变形得到：$$cat[j]\le P+cat[i]$$我们遍历$i$，对每一个$i$，二分搜索$cat$数组的$[cat+i+1,cat+n)$部分，找出第一个大于$P+cat[i]$的$cat[j]$的位置$r$，那么对于此时的$i$来说，$r-(cat+i+1)$就是满足条件$cat[j]-cat[i]\le P$的数对个数。然后将所有的$i$对应的个数求和就是总的个数，也是$P$的排名。

这部分的代码：

int culrank(int p)
{//求出来的排名是所有catj-cati<=p的个数 
	int i;
	int rank=0;
	for(i=0;i<n-1;i++)
	{
		int* r=upper_bound(cat+i+1,cat+n,cat[i]+p);
			//注意这里用的是upper_bound
		rank+=(r-(cat+i+1));
	}
	return rank;
}

---

下面是算法的主体部分：对答案的范围进行二分
显然，$P$越小，其在$ans$数组中的排名就越往前，因此就具备了单调性，就具备了二分的条件。

提出一个结论：$ans$的中位数必定是$0$~$10^9$中第一个满足不等式$rank\ge \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$的整数。

这个结论不难理解，可以写几个例子试一下。

为了提高时间效率，可以将二分的上边界改为$ans$中最大的元素，即$cat[N-1]-cat[0]$。

还需要注意的是，如果有多个与中位数相同的数，那么我们得不到排名正好等于$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$的数，因为此时这个整数的排名要大于$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$。当然，它也是第一个大于$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$的整数，所以并不妨碍算法逻辑。

二分答案的主代码如下：

while(r>=l)
{//找出第一个排名大于等于m的数，有可能只有大于的没有等于的 
	mid=(l+r)/2;
	rank=culrank(mid);//比mid小于等于的数的个数 
	if(rank>m) r=mid-1;
	else if(rank<m) l=mid+1;
	else if(rank==m)r=mid-1;
}

---

最后就是求出中位数。

再提出一个结论，二分代码中的$l$最后一定移动到中位数上去，也就是第一个排名大于等于$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$的整数。

这个结论也不难理解，可以写一写试一试。

---

三、代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<map>  
using namespace std;
int a[4][4001];
int cat[100001];
int n;
int culrank(int p)
{//求出来的排名是所有catj-cati<=p的个数 
	int i;
	int rank=0;
	for(i=0;i<n-1;i++)
	{
		int* r=upper_bound(cat+i+1,cat+n,cat[i]+p);
		rank+=(r-(cat+i+1));
	}
	return rank;
}
int main()
{
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		int i,j;
		for(i=0;i<n;i++)
			scanf("%d",&cat[i]);
		sort(cat,cat+n);
		int	l=0;
		int	r=cat[n-1]-cat[0];
		int m=(n*(n-1)/2+1)/2;//中位数的排名，也是小于等于中位数的数的个数 
		int mid;
		int rank;
		while(r>=l)
		{//找出第一个排名大于等于m的数，有可能只有大于的没有等于的 
			mid=(l+r)/2;
			rank=culrank(mid);//比mid小于等于的数的个数 
			if(rank>m) r=mid-1;
			else if(rank<m) l=mid+1;
			else if(rank==m)r=mid-1;
		}
		//最后l必定会来到第一个排名大于等于m的数
		printf("%d\n",l);
	}

	return 0;
}