WEEK4 周记 作业B题——二分算法_四个数列

WEEK4 周记 作业B题——二分算法_四个数列

一、题意

1.简述

有四个数列 A,B,C,D，每个数列都有 n 个数字。从每个数列中各取出一个数，问有多少种方案使得 4 个数的和为 0。
当一个数列中有多个相同的数字的时候，把它们当做不同的数对待。

2.输入格式

第一行：n（代表数列中数字的个数） （1≤n≤4000）
接下来的 n 行中，第 i 行有四个数字，分别表示数列 A,B,C,D 中的第 i 个数字（数字不超过 2 的 28 次方）。

3.输出格式

输出不同组合的个数。

4.样例

Input

6
-45 22 42 -16
-41 -27 56 30
-36 53 -37 77
-36 30 -75 -46
26 -38 -10 62
-32 -54 -6 45

Output

5

Hint

样例解释: (-45, -27, 42, 30), (26, 30, -10, -46), (-32, 22, 56, -46),(-32, 30, -75, 77), (-32, -54, 56, 30).

二、算法

粗糙的超时的想法

四层循环暴力求解，时间复杂度为$O(n^4)$，由题目给出的数据范围知，必然会超时。

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思路的改进

由题目给出的数据范围知，算法的时间复杂度应在$O(n^2)$左右，当然也可以更小。
$$a+b+c+d=0$$$$a+b=-(c+d)$$
所以我们可以将A和B数组分为一组求和，将C和D数组分为一组求和，分别在两个和序列中寻找互为相反数的数对，这样的数对对应着一组满足题目要求的四元组。
怎么找这样的数对呢？
考虑二分的思路。我们可以遍历一个和序列，同时使用二分的方法在另一个和序列（提前排好序）中寻找当前元素的相反数。

这样，求和序列的时间复杂度为$O(n^2)$，对和序列排序的时间复杂度为$O(2n^{2}log(n))$，二分找数对的时间复杂度为$O(2n^{2}log(n))$，所以总的时间复杂度为$O(n^{2}log(n))$。

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三、总结与收获

STL的超时问题

这个题用map做代码好写，时间复杂度也是$O(2n^{2}log(n))$，但是仍会超时。这个时候我们就得考虑优化。
事实上，我们只能优化的部分是复杂度前面的系数，用map增大的也是这个系数。
最终不用map而是手写才AC。

另外还需要注意的是，能不用long long int就不用，会增大时间。
举个例子来说， long long int a,b和int a,b，a+b的时间前者是后者好几倍。

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总的来说，就是在均衡手写效率和时间效率的基础上，能不用STL就不用。

unordered map的常数要比map小。

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下面给出超时的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<map>
#define llll long long int  
//map会超时
//long long a+b要比int a+b慢，所以除非不得已不要轻易用longlong 
using namespace std;
int a[4][4001];
map<int,int> ab;
map<int,int> cd;
int sum;
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	int i,j;
	for(i=0;i<n;i++)
		for(j=0;j<4;j++)
			scanf("%d",&a[j][i]);
	for(i=0;i<n;i++)
		for(j=0;j<n;j++)
		{
			ab[a[0][i]+a[1][j]]++;
			cd[a[2][i]+a[3][j]]++;
		}
	map<int,int>::iterator it=ab.begin();
	for(;it!=ab.end();it++)
	{
		pair<const int,int> pr=*it;
		map<int,int>::iterator temp=cd.find(0-pr.first);
		if(temp!=cd.end())
			sum+=(*it).second * (*temp).second;
	}
	printf("%d",sum);
	return 0;
}

四、代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<map>
#define llll long long int  
using namespace std;
int a[4][4001];
int ab[8000001];
int abnew[8000001];
int abnum[8000001];
int cd[8000001];
int sum;
int indexab;
int indexcd;
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	int i,j;
	for(i=0;i<n;i++)
		for(j=0;j<4;j++)
			scanf("%lld",&a[j][i]);
	for(i=0;i<n;i++)
		for(j=0;j<n;j++)
		{
			ab[indexab]=a[0][i]+a[1][j];
			indexab++;
			cd[indexcd]=a[2][i]+a[3][j];
			indexcd++;
		}
	sort(ab,ab+indexab);
	int index=0;//abnew
	for(i=0;i<indexab;i++)
	{
		int* l=lower_bound(ab,ab+indexab,ab[i]);//低于C++11就不支持了 
		int* r=upper_bound(ab,ab+indexab,ab[i]);
		i=r-ab-1;
		abnew[index]=ab[i];
		abnum[index]=r-l;
		index++;
	}
		
	int it;
	for(it=0;it<indexcd;it++)
	{
		int* l=lower_bound(abnew,abnew+index,0-cd[it]);
		if(abnew[l-abnew]==0-cd[it]) 
			sum+=abnum[l-abnew];
	}
	printf("%d",sum);
	return 0;
}