校招算法笔面试 | 数据流中的中位数

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题目

题目链接

#描述
这是一篇针对初学者的题解，共用三种方法解决，从暴力算法到最优算法。
知识点：排序，堆
难度：二星

#题解

题目描述：对动态数据流求中位数。

##方法一：暴力方法
对于一组数据，我们可以用vector<int> arr来存取。如果对vector排好序，则很容易求出中位数。如果vector的大小为sz。

如果sz为奇数，假如为3，即[0 1 2]，则中位数就是中间的那个数arr[1]。
如果sz为偶数，假如为4，即[0 1 2 3], 则中位数就是中间两个数的加权平均数。即 (arr[1] + arr[2]) / 2

代码如下：

class Solution {
public:
	#define SCD static_cast<double>
	vector<int> v;
    void Insert(int num)
    {
    	v.push_back(num);
        
    }

    double GetMedian()
    { 
    	sort(v.begin(), v.end());
    	int sz = v.size();
    	if (sz &amp; 1) {
    		return SCD(v[sz &gt;&gt; 1]);
    	}
    	else {
    		return SCD(v[sz &gt;&gt; 1] + v[(sz - 1) &gt;&gt; 1]) / 2;
    	}
    }

};

时间复杂度：Insert()为O(1), GetMedian()为O(nlogn)
空间复杂度：O(n)

方法二：插入排序

对于方法一，可以发现有个优化的地方。
方法一中GetMEdian()操作，是每次都对整个vector调用排序操作。
但是其实每次都是在一个有序数组中插入一个数据。因此可以用插入排序。
所以：

Insert()操作可改为插入排序
GetMedian()操作可直接从有序数组中获取中位数

代码如下：

class Solution {
public:
	#define SCD static_cast<double>
	vector<int> v;
    void Insert(int num)
    {
        if (v.empty()) {
        	v.push_back(num);
        }
        else {
        	auto it = lower_bound(v.begin(), v.end(), num);
        	v.insert(it, num);
        }
    }

    double GetMedian()
    { 
    	int sz = v.size();
    	if (sz &amp; 1) {
    		return SCD(v[sz &gt;&gt; 1]);
    	}
    	else {
    		return SCD(v[sz &gt;&gt; 1] + v[(sz - 1) &gt;&gt; 1]) / 2;
    	}
    }

};

时间复杂度：Insert()为O(n),即二分查找的O(logn)和挪动数据的O(n), GetMedian()为O(1)
空间复杂度：O(n)

##方法三：堆
中位数是指：有序数组中中间的那个数。则根据中位数可以把数组分为如下三段:
[0 ... median - 1], [median], [median ... arr.size() - 1]，即[中位数的左边，中位数，中位数的右边]

那么，如果我有个数据结构保留[0…median-1]的数据，并且可以O(1)时间取出最大值，即arr[0...median-1]中的最大值
相对应的，如果我有个数据结构可以保留[median + 1 ... arr.size() - 1] 的数据，并且可以O(1)时间取出最小值，即
arr[median + 1 ... arr.size() - 1] 中的最小值。
然后，我们把[median]即中位数，随便放到哪个都可以。

假设[0 ... median - 1]的长度为l_len, [median + 1 ... arr.sise() - 1]的长度为 r_len.
1.如果l_len == r_len + 1, 说明，中位数是左边数据结构的最大值
2.如果l_len + 1 == r_len, 说明，中位数是右边数据结构的最小值
3.如果l_len == r_len, 说明，中位数是左边数据结构的最大值与右边数据结构的最小值的平均值。

说了这么多，一个数据结构可以O(1)返回最小值的，其实就是小根堆，O(1)返回最大值的，其实就是大根堆。并且每次插入到堆中的时间复杂度为O(logn)

所以，GetMedian()操作算法过程为：

初始化一个大根堆，存中位数左边的数据，一个小根堆，存中位数右边的数据
动态维护两个数据结构的大小，即最多只相差一个

代码如下：

class Solution {
public:
	#define SCD static_cast<double>
	priority_queue<int> min_q; // 大顶推
	priority_queue<int, vector<int>, greater<int>&gt; max_q; // 小顶堆
	
    void Insert(int num)
    {

    	min_q.push(num); // 试图加入到大顶推

        // 平衡一个两个堆
    	max_q.push(min_q.top()); 
    	min_q.pop();

    	if (min_q.size() &lt; max_q.si***_q.push(max_q.top());
    		max_q.pop();
    	}
        
    }

    double GetMedian()
    { 
    	return min_q.size() &gt; max_q.size() ? SCD(min_q.top()) : SCD(min_q.top() + max_q.top()) / 2;
    }

};

时间复杂度：Insert()为O(logn), GetMedian()为O(1)
空间复杂度：O(n)</int,>