牛客题解 | 多项式特征的Phi变换

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Phi变换是一种将输入数据转换为多项式特征的方法，它通过将输入数据中的每个元素进行幂运算，来生成多项式特征。其具体步骤如下：

1. 初始化Phi矩阵

• 创建一个与输入矩阵 $X$ 相关的矩阵 $Phi$。
• 数学表达式为：
  $$Phi=X^T\times X$$

该公式的思想的另外一个常见应用场景是二次型，即：

$$f(x)=x^T\times A\times x$$
其中，$A$ 是一个对称矩阵。

2. 返回Phi矩阵

• 将计算得到的Phi矩阵返回。

标准代码如下

def phi_transform(data: list[float], degree: int) -> list[list[float]]:
	if degree < 0 or not data:
		return []
	return np.array([[x ** i for i in range(degree + 1)] for x in data],dtype=float).tolist()

该代码通过列表推导式，将输入数据中的每个元素进行幂运算，来生成多项式特征。

此外，可以使用sklearn库中的PolynomialFeatures方法来简化计算，本题给出一种实现方式

def phi_transform(data: list[float], degree: int) -> list[list[float]]:
    from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
    if degree < 0 or not data:
        return []
    poly = PolynomialFeatures(degree=degree)
    return poly.fit_transform(np.array(data).reshape(-1,1)).tolist()

reshape方法调用是为了让输入数据符合sklearn库的输入要求。

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基向量变换矩阵（Basis Vector Transformation Matrix）是一种常用的矩阵，用于将基向量变换为另一个基向量。

从矩阵A到矩阵B的基向量变换矩阵P，满足$B=P\cdot A$。
本质上就是对A的列向量进行线性变换，使得A的列向量变为B的列向量。

标准代码如下

def transform_basis(B, C):
    C = np.array(C)
    B = np.array(B)
    C_inv = np.linalg.inv(C)
    P = np.dot(C_inv, B)
    return P.tolist()