数据结构5：树与二叉树

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#二叉树 #数据结构 #链表

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本文深入讲解二叉树的基础概念，包括二叉树的性质、存储结构及遍历方法，如前序、中序、后序和层序遍历。同时，介绍了如何通过递归和迭代实现遍历，以及如何解决实际问题，如对称二叉树和路径总和问题。

1.基础知识

本章取自《数据结构》 (C语言版)第四章，作者为清华大学邓文华。
参考链接：二叉树基础

1.树
- 树的度
- 根节点
- 分支节点
- 叶子
2.1 二叉树
- 二叉树的性质
- 斜树
- 满二叉树
- 完全二叉树
2.2 二叉树的储存结构

1）顺序存储：二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。顺序存储适用于完全二叉树。
2）二叉链表：将节点数据结构定义为一个数据和两个指针域

2.3 二叉树的遍历

前序遍历：先根节点，再左子树，再右子树
中序遍历；先左子树，再根节点，再右子树
后序遍历；先左子树，再右子树，再根节点
层序遍历
递归方式遍历二叉链表

剑指例题：重建二叉树（详见P62）
1）二叉树前序遍历序列中，第一个数字总是树的根节点的值！
2）二叉树中序遍历序列中，根节点的值位于序列中间，左子树节点的值位于根节点的值的左侧，右子树的节点的值位于根节点的值的右侧。
3）二叉树后序遍历序列中，最后一个数字总是树的根节点的值！
重要参考链接：4种遍历方法

 /// 1.前序遍历、中序便利和后序遍历一种典型的递归解法
 // 前序遍历
 vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> res;
        preorderTraversal(root,res);
        return res;
    }
    
    void preorderTraversal(TreeNode* root,vector<int> &res) {
        if(root==NULL) return ;
        res.push_back(root->val);

        preorderTraversal(root->left,res);
        preorderTraversal(root->right,res);
    }
    
/// 很轻松，仅需要调整顺序即可得到中序遍历和后续遍历
// 中序遍历
    vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> res;
        inorderTraversal(root,res);
        return res;
    }
    
     void inorderTraversal(TreeNode* root,vector<int> &res) {
        if(root==NULL) return;
         
        inorderTraversal(root->left,res);
        res.push_back(root->val);
        inorderTraversal(root->right,res);
    }
// 后序遍历
    vector<int> postorderTraversal(TreeNode* root) {
        vector<int> res;
        postorderTraversal(root,res);
        return res;
    }
    
     void postorderTraversal(TreeNode* root,vector<int> &res) {
        if(root==NULL) return;
         
        postorderTraversal(root->left,res);
        postorderTraversal(root->right,res);
        res.push_back(root->val);
    }

/// 2.迭代解法

层序遍历思路： 使用队列的广度优先搜索。
先把当前层的节点推入队列，并且统计当前层的节点个数（为了把每一层的节点值放入同一个vector），然后加入当前队列头部的左子节点和右子节点；弹出当前队列头部；一直循环…直到抵达最后一层，没有新的节点被推入队列。

/// 3.层序遍历与广度优先搜索
    vector<vector<int> > levelOrder(TreeNode* root) {
        vector<vector<int> > res;
        if(root==NULL) return res;
        
        queue<TreeNode*> qTree;
        qTree.push(root);
        while(!qTree.empty()){
            int count = qTree.size();
            vector<int> levelVec;
            while(count>0){
                TreeNode* cur = qTree.front();
                qTree.pop();
                if(cur->left!=NULL){
                    qTree.push(cur->left);
                }
                if(cur->right!=NULL){
                    qTree.push(cur->right);
                }
                
                levelVec.push_back(cur->val);
                count--;
            }
            res.push_back(levelVec);
            
        }
            
        return res;
    }

剑指例题：对称二叉树(P159)

思路：三种遍历方式均为先左子节点然后右子节点，而题目要求判断是否对称则与此相反，因而创建另一颗树，与前序遍历镜像遍历，需要注意的是，需考虑子节点为nullptr的情况。

    bool isSymmetric(TreeNode* root) {
        return isSymmetric(root,root);
    }
    
    bool isSymmetric(TreeNode* root1,TreeNode* root2){
        if(root1==NULL && root2==NULL){
            return true;
        }
        if(root1==NULL || root2==NULL){
            return false;
        }
        if(root1->val!=root2->val){
            return false;
        }

        return isSymmetric(root1->left,root2->right)
           && isSymmetric(root1->right,root2->left);
    }

3.树与森林
4.最优二叉树–哈弗曼树

2.二叉树的基本使用

3.刷题

3.1 路径总和

在这里插入图片描述

思路：采用递归解法。如果考虑某个节点：

如果该节点左右节点都为空，那判断该节点值是否为sum；
如果该节点存在左（或右）子树，则递归，判断左（或右）子节点是否存在路径和为sum-root->val的路径；
存在路径则说明左或者右里找到一条路径。

    bool hasPathSum(TreeNode* root, int sum) {
        if(root==NULL) return false;
        // 叶子结点的值
        if(root->left==NULL && root->right==NULL){
            if(root->val==sum){
                return true;
            }else return false;
        }

        return hasPathSum(root->left,sum - root->val)
            || hasPathSum(root->right,sum - root->val);
    }