L3-009. 长城(凸包)

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探讨了在保证长城安全的前提下，如何通过算法确定所需建造烽火台的最少数目，确保消耗的民力最少。文章提供了一个具体的实现案例。

L3-009. 长城

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400 ms

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65536 kB

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8000 B

判题程序

Standard

作者

邓俊辉（清华大学）

正如我们所知，中国古代长城的建造是为了抵御外敌入侵。在长城上，建造了许多烽火台。每个烽火台都监视着一个特定的地区范围。一旦某个地区有外敌入侵，值守在对应烽火台上的士兵就会将敌情通报给周围的烽火台，并迅速接力地传递到总部。

现在如图1所示，若水平为南北方向、垂直为海拔高度方向，假设长城就是依次相联的一系列线段，而且在此范围内的任一垂直线与这些线段有且仅有唯一的交点。

图 1

进一步地，假设烽火台只能建造在线段的端点处。我们认为烽火台本身是没有高度的，每个烽火台只负责向北方（图1中向左）瞭望，而且一旦有外敌入侵，只要敌人与烽火台之间未被山体遮挡，哨兵就会立即察觉。当然，按照这一军规，对于南侧的敌情各烽火台并不负责任。一旦哨兵发现敌情，他就会立即以狼烟或烽火的形式，向其南方的烽火台传递警报，直到位于最南侧的总部。

以图2中的长城为例，负责守卫的四个烽火台用蓝白圆点示意，最南侧的总部用红色圆点示意。如果红色星形标示的地方出现敌情，将被哨兵们发现并沿红色折线将警报传递到总部。当然，就这个例子而言只需两个烽火台的协作，但其他位置的敌情可能需要更多。然而反过来，即便这里的4个烽火台全部参与，依然有不能覆盖的（黄色）区域。

图 2

另外，为避免歧义，我们在这里约定，与某个烽火台的视线刚好相切的区域都认为可以被该烽火台所监视。以图3中的长城为例，若A、B、C、D点均共线，且在D点设置一处烽火台，则A、B、C以及线段BC上的任何一点都在该烽火台的监视范围之内。

图 3

好了，倘若你是秦始皇的太尉，为不致出现更多孟姜女式的悲剧，如何在保证长城安全的前提下，使消耗的民力（建造的烽火台）最少呢？

输入格式：

输入在第一行给出一个正整数N（3 <= N <=10⁵），即刻画长城边缘的折线顶点（含起点和终点）数。随后N行，每行给出一个顶点的x和y坐标，其间以空格分隔。注意顶点从南到北依次给出，第一个顶点为总部所在位置。坐标为区间 [-10⁹, 10⁹) 内的整数，且没有重合点。

输出格式：

在一行中输出所需建造烽火台（不含总部）的最少数目。

输入样例：

输出样例：

// 有一个坑点，小心求叉积的时候会溢出= =
#include <iostream>
#include <vector>
#include <set>
using namespace std;
struct node
{
	long x;
	long y;
	node(long x, long y) :x(x), y(y) {}
	node() {}
	long operator < (const node& b)const {
		return this->x > b.x;
	}
};

// 计算叉积
long Cross(node& p0, node& p1, node& p2) {
	return (p1.x - p0.x) * (p2.y - p0.y) - (p2.x - p0.x) * (p1.y - p0.y);
}

int main() {
	//freopen("1.txt", "r", stdin);
	int N;
	cin >> N;
	vector< node > vex;
	vector< node > s(N + 1);
	set< node > vis;
	// 读取点
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		long x, y;
		scanf("%ld%ld", &x, &y);
		vex.push_back(node(x, y));
	}
	// 计算
	int p = 0;
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		// 如果叉积小于等于零，说明p2-p0在p1-p0上面或在一条直线上，所以要将p1出栈,这个点丢弃
		while (p >= 2 && Cross(s[p - 2], s[p - 1], vex[i]) <= 0)
			p--;
		// 将凸起来的点保存起来
		if (p >= 1)
			vis.insert(s[p - 1]);
		s[p++] = vex[i];
	}
	cout << vis.size() - 1 << endl;
	return 0;
}