分治法解决凸包问题

问题

        设p1=(x1,y1),p2=(x2,y2),...,pn=(xn,yn)是平面上n个点构成的集合S，凸包问题是为集合S构造最小凸多边形。

思路

        设p1=(x1,y1),p2=(x2,y2),...,pn=(xn,yn)按照x轴坐标升序排列，则最左边的点p1和最右边的点p2一定是该集合的凸包顶点。如图1所示。设p1pn是经过点p1和pn的直线，这条直线把集合S分成两个子集：S1是位于直线上侧和直线上的点构成的集合，S2是位于直线下侧和直线上的点构成的集合。S1的凸包由下列线段构成：以p1和pn为端点的线段构成的下边界，以及由多条线段构成的上边界，这条上边界成为上包。类似地，S2中的多条线段构成的下边界称为下包。整个集合S的凸包是由上包和下包构成的。

        下面讨论如何求解上下包。对于集合S1，S1中所有直线p1pm上侧的点构成集合S11，S1中所有在直线pmpn上侧的点构成集合S12，包含在三角形pmp1pn之中的点可以不考虑了。递归地继续构造集合S11的上包和集合S12的上包，然后将求解过程中得到的所有最远距离的点连接起来，就可以得到集合S1的上包。同理，可求得集合S2的下包。如图2所示

      

            图1 点集合S的上包和下包