数矩形个数

问题描述

给一个二维数组构成的网格，其中的每一个格点非0即1。找出由4个不同格点上的1作为4个角，撑起的矩形个数。

注意：

1. 该矩形边与横轴或纵轴平行。

2. 只需要4个角有1即可。

3. 行数和列数范围为[1, 200]

4. 一块网格中1的总数不超过6000

我的想法

最一般的，直接硬数，以4个顶点他们的行号和列号大多是相同的为判断条件。乍一看能硬刚出来（比如说我就这么试了），其实会陷入重复计算和大量的循环嵌套之中。
换一个思路是一行一行来，新处理的一行会对原有的矩形个数造成何种影响？思考一下就知道如果这一行上有两个1凑成了一对（好似那鸳鸯成双对），那他们可以匹配到之前行上相同列号的一对1凑成一个矩形，如此代码就比较好写

代码

第一份是没怎么优化，单纯实现思路的

#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int row=0;    //行数
    int col=0;    //列数
    cout<<"请输入行数和列数"<<endl;
    cin>>row>>col;
    int grid[row][col];
    int answer=0;
    int i,j,k;
    //输入数组
    for(i=0;i<row;i++)
    {
        for(j=0;j<col;j++)
        {
            cin>>grid[i][j];
        }
    }
    //时间复杂度, 设grid为m行n列
    //每一行寻找一对1为 O(n*n)
    //每对1和之前行做匹配，O（m*n*n）
    //总共处理m行, O(m*m*n*m)
    for(i=0;i<row;i++)  //从第一行开始找a pair of 1
    {
        for(j=0;j<col;j++)
        {
            if(grid[i][j]==1)//找到第一个1
            {
                for(k=j+1;k<col;k++)
                {
                    if (grid[i][j] == grid[i][k])   //找到了1对,要判断他们上面是否有一对1匹配
                    {
                        for(int x=0;x<i;x++)    //  检索每一行
                        {
                            if(grid[x][j] == 1 && grid[x][k] == 1)  //  匹配成功，矩形个数+1
                                answer++;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }

    cout<<"the number of squares is "<<answer<<endl;
    return 0;
}

第二份代码
稍微优化一下时间复杂度，建立字典储存列号和出现次数的对应关系

#include<iostream>
#include<map>
#include<string>
#include<sstream>

using namespace std;
string Int_to_String(int a);    //整型数转字符串

int main()
{
    int row=0;    //行数
    int col=0;    //列数
    cout<<"请输入行数和列数"<<endl;
    cin>>row>>col;
    int grid[row][col];
    int answer=0;
    int i,j,k;
    //输入数组
    for(i=0;i<row;i++)
    {
        for(j=0;j<col;j++)
        {
            cin>>grid[i][j];
        }
    }
    //优化，新建一个辅助的字典，用空间换时间
    //因为每一对1都要向之前行去做匹配，看看是否能构成矩形，这个遍历先前行的步骤可以优化
    //我们可以将(第j列,第k列)出现过一对1的次数x记录下来
    //一旦有新的一对1出现在这两列，就意味着能匹配出x个新矩形，矩形个数就可以直接加上x
    //C++中就采用map来构造（列号，出现次数）这一对应关系
    //键值对形式，(j,k)---count
    //每在新行发现一对1，矩形个数answer += count, count++
    //优化后时间复杂度 O(m*n*n), 空间复杂度取决于一行中1的最多对数, O(N*N)
    map<string,int> dict;
    for(i=0;i<row;i++)  //从第一行开始找a pair of 1
    {
        for(j=0;j<col;j++)
        {
            if(grid[i][j]==1)//找到第一个1
            {
                for(k=j+1;k<col;k++)
                {
                    if (grid[i][j] == grid[i][k])   //找到了1对,要判断他们上面是否有一对1匹配
                    {
                        string str = Int_to_String(j) + "," + Int_to_String(k);
                        answer += dict[str];
                        dict[str]++;
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout<<"the number of squares is "<<answer<<endl;
    return 0;
}

string Int_to_String(int a)
{
    stringstream ss;
    ss<<a;
    string str = ss.str();
    return str;
}

网上还有别的方法可以继续将时间复杂度优化到 O(N^1.5)，N为1的个数，思路巧妙还是空间换时间，我就不折腾了