Google OR-Tools(四) 约束编程 Constraint Programming

本文参考Google OR-Tools官网文档介绍OR-Tools的使用方法。

1 约束满足问题

1.1 CSP定义

在前一篇文章中我提到Google OR-Tools中解决整数规划问题有MP Solver和CP Solver两种工具，但是只介绍了MP Solver，而这篇文章则会介绍CP Solver。之所以会有这两种工具，是因为虽然都是解决整数规划，各自面对的问题类型还是有区别的，CP Solver一般用于约束满足问题(Constraint Satisfaction Problem)，简称CSP。

一个约束满足问题包括有限变量集、每个变量的有限论域和有限约束集，每条约束限制了变量集赋值的组合，约束满足问题的解是为每个变量赋一个对应论域上的值，使之满足所有的约束。一般情况，解约束满足问题的目标是只要找到一个解就行，不过也可能要找出所有可行解中最优的那个。

举个简单的例子，比如一个人需要穿鞋、衬衫和裤子，其中每样东西都有一定的选择：鞋有运动鞋、皮鞋两双；衬衫有红色和白色两件；裤子有蓝色、灰色和牛仔裤三条。但是必须符合如下的规则：

• 运动鞋配牛仔裤；
• 皮鞋只能与灰裤子和白衬衫搭配；
• 白衬衫可以和牛仔裤或者蓝裤子搭配；
• 红衬衫只能与灰裤子搭配；

这个穿衣规则就是问题的约束，问题变量集合为{鞋，裤子，衬衫}，而每种物品可选择的样式就构成了变量的论域。

下面是CSP问题的数学定义：
用一个三元组$(V,D,C)$来表示CSP，其中

• $V$是由有限变量组成的集合$X_1,X_2,...,X_n$；
• $D$是一个函数，将每个变量映射到一个有限论域上，用$D_{Xi}$表示变量$X_i$在函数$D$上的映射，即变量$X_i$的论域；
• $C$是一个约束的有限集合，而且在约束中出现的变量只能是$V$中的变量。如果$c\in C$，则约束$c$表示的是其中出现的所有变量对应论域笛卡尔积的一个子集。

对于一个$CSP(V,D,C)$：

• 如果一个$CSP(V,D,C)$是$k$-可满足的，当且仅当$V$中所有由$k$个变量组成的子集都存在一