一道组合问题的算法题

 一道算法题：已知m,n(m>n)，打印出数组1,2,…,m中任意n个数的组合。很显然，有m! / (n!*(m-n)!)种。

 

递归解法：

f(m,n)表示求所有数组1,2,…,m中任意n个数的组合。可以分解为两个问题：

若m在组合中，则组合是m与f(m-1,n-1);

若m不在组合中，则组合是f(m-1,n)。

当n=0或m=n时，停止递归，输出。

代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
 
voidprint(vector<int> &iv)
{
       for (vector<int>::iterator it = iv.begin(); it !=iv.end(); it++)
              cout << *it << " ";
       cout << endl;
}
 
void comb(int m, int n,vector<int> &iv)
{
       if (0 == n)
       {
              print(iv);
              return;
       }
 
       if (m == n)
       {
              for (int i = n; i > 0; i--)
                     iv.push_back(i);
              print(iv);
              return;
       }
 
       vector<int> iv1 = iv;
       iv1.push_back(m);
       comb(m-1, n-1, iv1);
      
       vector<int> iv2 = iv;
       comb(m-1, n, iv2);
}
 
int main(int argc, char*argv[])
{
       vector<int> iv;
       comb(5, 3, iv);
       return 0;
}

上述解法复杂度是O(2^m)；

不过，我们注意到，此类问题有重复子问题，则可通过DP求解。

比如f(10,5)    10,f(9,4)    10,9,f(8,3)    

                                           10,f(8,4)

                        f(9,5)         9,f(8,4)

                                          f(8,5)

注意到f(8,4)重复出现，我们用一个m*n的表格记录已经计算过的f(i,j)，就不用重复计算了。存储f(i,j)数据结构嘛，暂且考虑vector<vector<int>>吧。

这样，复杂度就降低至O(m*n)啦。

 

 另外一个比较巧妙的解法：

</pre>stl里的一个方法：<pre name="code" class="cpp">bool next_permutation(int *first, int *last, bool (*comp)(int, int))
{
	int *i, *ii, *j;
	i = last;
	--i;

	while (1)
	{
		ii = i;
		--i;
		if (comp(*i, *ii))
		{
			j=last;
			--j;
			while (!comp(*i, *j)) --j;
			swap(*i, *j);
			reverse(ii, last);
			return true;
		}
		if (i == first)
		{
			reverse(first, last);
			return false;
		}
	}
}

求排列：

	int a[N] = {1,2,3,4,5};

	do {
		for (int i = 0; i < N; i++) 
			printf("%d ", a[i]);
		printf("\n");
	} while( next_permutation(a, a + N, comp) );

求N个数中M个数的组合：

	int a[N];
	int i;
	for (i = 0; i < M; i++) a[i] = 0;
	for (i = M; i < N; i++) a[i] = 1;
	do {
		for (i = 0; i < N; i++)
			if (0 == a[i])
				printf("%d ", i);
		printf("\n");
	} while( next_permutation(a, a + N, comp) );