O(n) 求 最长回文子串

介绍一种能在O(n)时间内找出字符串中最长回文子串的算法,通过在相邻字符间插入分隔符统一处理奇偶长度的回文串,并利用辅助数组P记录以每个字符为中心的最长回文串长度。

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转自:http://bbs.dlut.edu.cn/bbstcon.php?board=Competition&gid=23474

    其实原文说得是比较清楚的,只是英文的,我这里写一份中文的吧。
    首先:大家都知道什么叫回文串吧,这个算法要解决的就是一个字符串中最长的回文子串有多长。这个算法可以在O(n)的时间复杂度内既线性时间复杂度的情况下,求出以每个字符为中心的最长回文有多长,
    这个算法有一个很巧妙的地方,它把奇数的回文串和偶数的回文串统一起来考虑了。这一点一直是在做回文串问题中时比较烦的地方。这个算法还有一个很好的地方就是充分利用了字符匹配的特殊性,避免了大量不必要的重复匹配。
    算法大致过程是这样。先在每两个相邻字符中间插入一个分隔符,当然这个分隔符要在原串中没有出现过。一般可以用‘#’分隔。这样就非常巧妙的将奇数长度回文串与偶数长度回文串统一起来考虑了(见下面的一个例子,回文串长度全为奇数了),然后用一个辅助数组P记录以每个字符为中心的最长回文串的信息。P[id]记录的是以字符str[id]为中心的最长回文串,当以str[id]为第一个字符,这个最长回文串向右延伸了P[id]个字符。
    原串:    w aa bwsw f d 
    新串:   # w # a # a # b # w # s # w # f # d #
辅助数组P:  1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1
    这里有一个很好的性质,P[id]-1就是该回文子串在原串中的长度(包括‘#’)。如果这里不是特别清楚,可以自己拿出纸来画一画,自己体会体会。当然这里可能每个人写法不尽相同,不过我想大致思路应该是一样的吧。
    好,我们继续。现在的关键问题就在于怎么在O(n)时间复杂度内求出P数组了。只要把这个P数组求出来,最长回文子串就可以直接扫一遍得出来了。
    由于这个算法是线性从前往后扫的。那么当我们准备求P[i]的时候,i以前的P[j]我们是已经得到了的。我们用mx记在i之前的回文串中,延伸至最右端的位置。同时用id这个变量记下取得这个最优mx时的id值。(注:为了防止字符比较的时候越界,我在这个加了‘#’的字符串之前还加了另一个特殊字符‘$’,故我的新串下标是从1开始的)
好,到这里,我们可以先贴一份代码了。
复制代码

 

void pk()
{
    int i;
    int mx = 0;
    int id;
    for(i=1; i<n; i++)
    {
        if( mx > i )
            p[i] = MIN( p[2*id-i], mx-i );        
        else
            p[i] = 1;
        for(; str[i+p[i]] == str[i-p[i]]; p[i]++)
            ;
        if( p[i] + i > mx )
        {
            mx = p[i] + i;
            id = i;
        }
    }
}



    代码是不是很短啊,而且相当好写。很方便吧,还记得我上面说的这个算法避免了很多不必要的重复匹配吧。这是什么意思呢,其实这就是一句代码。


if( mx > i )
    p[i] = MIN( p[2*id-i], mx-i );
//这里p[i]不从1开始会缩短好多运算,

//p[i]的缩短是根据当前一次比较最远的长度mx>i的时候,即这个时候才存在优化,优化的方法是把i~mx这段元素用j来替换因为回文数两边是相等的

//所以j=2*id-i;但是这里一个新的问题是i~mx之间其实向后(只是向前计算过)是没有计算过回文的,所以如果他是向后回文的话即以mx为中心

//的回文应该直接跳跃mx-i,因此在这里选择的是MIN(p[2*id-i],mx-i);这些事自己的理解记录下来免得忘了


就是当前面比较的最远长度mx>i的时候,P[i]有一个最小值。这个算法的核心思想就在这里,为什么P数组满足这样一个性质呢?
   (下面的部分为图片形式)







此主题相关图片如下:8_56_4f13d6e009ae79e.png (88KB)

两个基本题:hdu 3068  poj 3974

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int M = 110010*2;
char str[M];//start from index 1
int p[M];
char s[M];
int n;
void checkmax(int &ans,int b){
    if(b>ans) ans=b;
}
inline int min(int a,int b){
    return a<b?a:b;
}
void kp(){
    int i;
    int mx = 0;
    int id;
    for(i=1; i<n; i++){
        if( mx > i )
            p[i] = min( p[2*id-i], p[id]+id-i );
        else
            p[i] = 1;
        for(; str[i+p[i]] == str[i-p[i]]; p[i]++) ;
        if( p[i] + i > mx ) {
            mx = p[i] + i;
            id = i;
        }
    }
}
void pre()
{
    int i,j,k;
    n = strlen(s);
    str[0] = '$';
    str[1] = '#';
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        str[i*2 + 2] = s[i];
        str[i*2 + 3] = '#';
    }
    n = n*2 + 2;
    str[n] = 0;
}

void pt()
{
    int i;
    int ans = 0;
    for(i=0;i<n;i++)
        checkmax(ans, p[i]);
    printf("%d\n", ans-1);
}

int main()
{
    int T,_=0;
    while( scanf("%s", s) !=EOF )
    {
        pre();
        kp();
        pt();
    }
    return 0;
}


还有 codeforces 7D : k回文

### 寻找最长回文子串算法实现 #### 动态规划方法 一种常见的解决方案是利用动态规划来寻找最长回文子串。这种方法通过构建一个二维布尔数组 `dp`,其中 `dp[i][j]` 表示从索引 `i` 到 `j` 的子串是否为回文[^2]。 以下是 Python 中基于动态规划的方法实现: ```python def longest_palindrome(s: str) -> str: n = len(s) if n < 2: return s start, max_len = 0, 1 dp = [[False]*n for _ in range(n)] # 单字符都是回文 for i in range(n): dp[i][i] = True # 遍历字符串长度 l (l >= 2),逐步填充 dp 数组 for l in range(2, n+1): for i in range(n-l+1): j = i + l - 1 if s[i] != s[j]: dp[i][j] = False else: if l <= 3 or dp[i+1][j-1]: # 子串也是回文 dp[i][j] = True if dp[i][j] and l > max_len: start, max_len = i, l return s[start:start+max_len] ``` 此代码实现了动态规划的思想,并能够高效地找出给定字符串中的最长回文子串。 --- #### Manacher 算法 另一种更高效的算法是 **Manacher 算法**,它可以在 O(n) 时间复杂度内完成任务。该算法通过对原字符串预处理,在每个字符之间插入特殊分隔符(如 `#`),从而统一奇偶长度的情况[^3]。 下面是 Manacher 算法的一个具体实现: ```python def longest_palindrome_manacher(s: str) -> str: T = '#'.join('^{}$'.format(s)) # 插入特殊字符以便统一对齐 n = len(T) P = [0] * n C = R = 0 # 当前中心C和右边界R for i in range(1, n-1): mirror_i = 2*C - i if R > i: P[i] = min(R-i, P[mirror_i]) while T[i+(P[i]+1)] == T[i-(P[i]+1)]: P[i] += 1 if i + P[i] > R: C, R = i, i + P[i] max_len = max(P) center_index = P.index(max_len) start = (center_index - max_len) // 2 return s[start:start+max_len] ``` 上述代码展示了如何使用 Manacher 算法快速计算最长回文子串。 --- #### 暴力枚举方法 虽然效率较低,但暴力枚举也是一种简单易懂的方式。其基本思路是对所有可能的子串逐一验证它们是否为回文,并记录下最长的那个[^4]。 以下是一个简单的暴力枚举实现: ```python def is_palindrome(subs: str) -> bool: return subs == subs[::-1] def longest_palindrome_brute_force(s: str) -> str: max_palin = "" for i in range(len(s)): for j in range(i+len(max_palin), len(s)+1): substr = s[i:j] if is_palindrome(substr) and len(substr) > len(max_palin): max_palin = substr return max_palin ``` 尽管这种方案易于理解,但在面对较长输入时性能较差,时间复杂度高达 O()。 --- #### 扩展中心点方法 扩展中心点策略是从每一个潜在的中心向两侧扩散,直到发现不满足回文条件为止。这种方法可以有效减少不必要的比较次数[^1]。 下面是一段采用扩展中心点技术的代码: ```python def expand_around_center(s: str, left: int, right: int) -> str: L, R = left, right while L >= 0 and R < len(s) and s[L] == s[R]: L -= 1 R += 1 return s[L+1:R] def longest_palindrome_expand(s: str) -> str: if not s or len(s) < 1: return "" res = "" for i in range(len(s)): odd = expand_around_center(s, i, i) # 奇数长度 even = expand_around_center(s, i, i+1) # 偶数长度 res = max(res, odd, even, key=len) return res ``` 这段代码分别考虑了奇数和偶数长度的回文情况,并从中选取最优解。 ---
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