关于α-β剪枝的补充

在一般关于博弈树书籍文献上，看到的博弈树例子都是没有连续同向节点，即连续两层以上的max-max节点或者min-min节点，都是反向节点交替出现。

实际上，有连续同向节点的博弈问题是很常见的，即一方将进行连续两次决策。因此，博弈树上并非不能存在此类节点。只是如果把一方的连续两次决策的视为一个决策，那么对应的博弈树上的连续同向节点合并为一个节点。因此，整理过的等价博弈树上看不到max-max节点和min-min节点。

之所以要指出这一点，是因为对某些实际问题，将连续同向节点合并，可能增加问题的复杂性，和解决的难度。特别是：某些问题自上而下的决策步骤本身就已经影响到了α、β值。比如：对于双方抢分的游戏，一方得分就意味着对方能得到分数上界就减少了，并不需要搜索到底。而一般的书籍上的博弈树都是要搜索到底层，才能确定得分，进而判断α、β值。

因此，有必要讨论两个问题：

在博弈过程中有得分的情况和出现连续同向节点情况的α、β值选取和剪枝原则。

一、在博弈过程中有得分的情况

如前所述，在博弈进行中，根据博弈规则可以判定一方或双方得分，并且双方已经得到的分数不会被再次扣除（不考虑犯规受罚情况），而且双方得分的总和确定或者会减少。例如：双方抢分的游戏。在这种情况下，α、β要分为两类：

第一类（α1、β1）是根据博弈规则直接可以判断出节点的双方得分上下界（本文记为α1、β1）。

只要双方都不犯规，α1、β1就都不可能被突破。其只受从上到下的进程影响，不会受下层节点的影响。

对任何节点：α1=上层节点α1+本步得分；β1=上层节点β1-本步得分。

显然，如果α1=β1=v，可以直接为本节点赋值v，同时v也是其所有下层节点的值，提前结束搜索。

说明三点：

1）这并非剪枝，而且不能排除该节点就是均衡解。

2）反过来不成立：即便某节点的值已经确定，也并不能就此确认该节点的α1、β1。

3）α1、β1虽然是节点值的上下界，但并不保证是上下确界，实际计算时允许放松。α1、β1不进行回溯计算。

第二类（α2，β2）是根据已知的搜索到末端的结果，基于双方都理性的假设而得出的上下界，这就是其他书籍上用的α、β，这里记为α2，β2。其既可以是自上而下继承，也可以是自下而上回溯。

任意节点，对于仅从其下层节点搜索回溯而得的α2、β2，始终成立：α1≤α2≤β2≤β1

由于区分了α1、β1和α2、β2，增加如下一条剪枝判断原则（剪枝原则3）

对于max节点，如果本节点α2≥某下层（不止下一层）max节点β1，则对该下层节点剪枝。

对于min节点，如果本节点β2≤某下层（不止下一层）min节点α1，则对该下层节点剪枝。

即：下层节点依规则判定的最优结果尚不及某个可选旁枝上的已知结果（满足条件的α2、β2必然是从旁支上回溯得到），因此也不必进行搜索了。

 

二、连续同向节点不合并情况下的α2，β2变化

存在α1、β1情况下，在有连续同向节点的实际问题里，如果把同向节点进行合并，问题反而会变得复杂，因此有必要讨论连续同向节点未经整理合并的情况。

很显然，α1、β1是不受影响的。

1、本层α2、β2与下层α2、β2的继承和回溯关系

对max-max节点：

继承时，如果发现本层节点的α2<上层节点α2，则本层节点的α2修改为上层节点的α2

回溯时，如果发现本层节点的α2<下层某子节点α2，则本层节点的α2修改为下层子节点的α2

β2虽然不能从上一层的max节点继承，但可以多代直接继承（即：β2可以从再上层的min节点处直接继承）。因为可以视为等价博弈树上的一个节点

对min-min节点：

继承时，如果发现本层节点的β2>上层节点β2，则本层节点的β2修改为上层节点的β2

回溯时，如果发现本层节点的β2>下层某子节点β2，则本层节点的β2修改为下层子节点的β2

需要说明：虽然连续同向节点之间的最优界不能回溯和继承，但是可以对整理合并后的博弈树进行回溯和继承

例如：

父节点是min节点β2，子节点是max节点，孙节点也max节点，则可以把父节点的β2传递给子节点和孙节点。

 

α2、β2的统一表述（回溯的）

如已搜索完：

则直接取下层最大值或最小值确定下层值。

如未搜索完

对max-min节点：本层α2=下层β2（暂时的）

对min-max节点：本层β2=下层α2（暂时的）

对max-max节点：本层α2=下层α2（暂时的）

对min-min节点：本层β2=下层β2（暂时的）

 

三、综合剪枝原则：

剪枝原则1

对任何节点，出现α2>β2（通常一是继承的，一是回溯的），则剪去本节点；

连续同向节点同样成立，但是需要注意的是：此时若还有下层未搜索完毕的与本节点连续的同向节点时，不能确定本层节点的β2（对max节点）和α2（对min节点），即：不能认为已经找到了最好情况。

剪枝原则2

上层max节点的α2>下层（不止是下一层）max节点的β2，下层的max节点剪枝

上层min节点的β2<下层（不止是下一层）min节点的α2，下层的min节点剪枝

剪枝原则3

见前文

四、另需要注意：不能以继承来的α2、β2直接反推回溯其上层节点，否则会形成逻辑混乱。

（待修改补充）