卡特兰数的研究

卡特兰数：

1 通项公式：h(n)=C(n,2n)/(n+1)=(2n)!/((n!)*(n+1)!)

2递推公式:h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1); h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0).

3前几项为：h(0)=1,h(1)=1,h(2)=2,h(3)=5,h(4)=14,h(5)=42,......

应用：

（1）序列出栈的情况总数：

比如123 共有5种出栈顺序。对于n个数出入栈，入栈记为1，出栈记为0.则出入栈序列为1101001。。。

但是要保证从左往右看，1的个数大于0的个，因为入栈个数要大于出栈个数。

于是我们的序列长度为2n，其中有n个1，n个0.总数：C（n，2n）。

不符合要求的数为：C(n+1,2n)

（2）给出n个点，求组成二叉树的所有种数，2个点组成2种二叉树，3个点组成5种二叉树）

解题思路和（1）相似。根节点看做1，有孩子为1，没有为0。中序遍历仍然可以看做为一个（1）中的序列。

按照卡特兰数进行求解。

（3）给出一个棋盘n*n，求从左下角到右上角的不经过对角线的所有走法

解题思路：把向右（向左）走看做1，向上走看做0。行走的序列是一个卡特兰序列。按照卡特兰数进行求解。

注意棋盘是对称的，求出的树*2

（4）买票问题：有m个人手里拿的是50元的，n个人拿的是100元的，问使买票过程不中断的排队方式。