csapp_3rd_2.13

最新推荐文章于 2024-05-22 15:00:35 发布

原创最新推荐文章于 2024-05-22 15:00:35 发布 · 565 阅读

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本文详细探讨了在补码表示下，不同数值相加时可能会出现的溢出情况。内容涉及正溢出和负溢出的定义，以及当w位的系统无法容纳w+1位的运算结果时，如何通过位模式来理解溢出的现象。文章通过实例解释了如何确定溢出后的位模式，并分析了位权重的解释变化。

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公式2.13的理解：

设： $-2^{w-1} \leq x,y \leq 2^{w-1}-1$ ，则： $-2^{w} \leq x+y \leq 2^{w}-2$

(1) 若 $-2^{w-1} \leq x+y \leq 2^{w-1}-1$ ，则 $x+_w^t y = x+y$ ，无正、负溢出。

(2) 若 $2^{w-1} \leq x+y$ ，则 $2^{w-1} \leq x+y \leq 2^{w-1}-2 < 2^w$ ，

那么这个时候（仍然是补码的情况下）需要 w+1 位才能表示出x+y的值，设这个位模式是：

$(z_{w}=0,z_{w-1}=1,z_{w-2},...,z_1,z_0)$

可以确定 $z_w=0, z_{w-1}=1$ ；w-2,...,0 位的值是不确定的。

$x+y=0*2^w + 2^{w-1}+\sum_{i=0}^{w-2}z_i2^i$

但是事实上，系统并没有给x+y分配w+1位的空间，仍然是w位的空间。此时，x+y出现了正溢出， $z_w$ 不会出现。

即x+y的位模式是：

$(z_{w-1}=1,z_{w-2},...,z_1,z_0)$

则此时：

$x+_w^t y = -2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-2}z_i2^i$

将 $z_{w-1}$ 位的权重解释 $-2^{w-1}$ ，剩余位的解释不变。

故 $x+_w^t y = x+y-2^w$

(3) 若 $-2^{w} \leq x+y < -2^{w-1}$ ，

那么这个时候（仍然是补码的情况下）需要 w+1 位才能表示出x+y的值，设这个位模式是：

$(z_{w}=1,z_{w-1}=0,z_{w-2},...,z_1,z_0)$

可以确定 $z_w=1, z_{w-1}=0$ ；w-2,...,0 位的值是不确定的。因为x+y小于0，则 $z_w=1$ ；如果 $z_{w-1}=1$ 的话，即 $x+y=-2^{w}+2^{w-1}+\sum_{i=0}^{w-2}z_i2^i=-2^{w-1}+\sum_{i=0}^{w-2}z_i2^i>-2^{w-1}$

则 $z_{w-1}=0$ 。

所以 $x+y=-2^{w}+0*2^{w-1}+\sum_{i=0}^{w-2}z_i2^i=-2^w+\sum_{i=0}^{w-2}z_i2^i$

但是事实上，系统并没有给x+y分配w+1位的空间，仍然是w位的空间。此时，x+y出现了负溢出， $z_w$ 不会出现。

即x+y的位模式是：

$(z_{w-1}=0,z_{w-2},...,z_1,z_0)$

则此时：

$x+_w^t y = 0*(-2^{w-1}) + \sum_{i=0}^{w-2}z_i2^i= \sum_{i=0}^{w-2}z_i2^i$

故 $x+_w^t y = x+y+2^w$

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