【机器学习-06】-学习率的选择

【机器学习-06】-学习率的选择

系统地解释了梯度下降算法（Gradient Descent）的核心概念及其关键参数——学习率（α）的作用，具体内容可总结如下：

---

1. 学习率（α）对优化过程的影响（第1张图）

• 核心公式：参数更新规则$w=w-\alpha \frac{d}{dw}J(w)$
• 通过调整参数 ( w ) 沿损失函数 ( J(w) ) 的负梯度方向移动，逐步逼近最小值。
• 学习率的作用：
• α过小：收敛速度慢，需要多次迭代才能接近最小值（如图中缓慢下降的路径）。
• α过大：可能导致优化过程不稳定，表现为：
◦ 越过最小值（overshoot）。
◦ 无法收敛甚至发散（如震荡或偏离最小值的路径）。
• 图示：通过不同颜色的优化路径对比，直观展示了学习率选择的重要性。

---

2. 局部最小值与梯度下降的收敛性（第2张图）

• 局部最小值：损失函数曲线上的一个低点（标注为 “local minimum”），此处梯度（斜率）为零（slope=0）。
• 固定学习率的可行性：
• 即使学习率α固定，梯度下降仍可能收敛到局部最小值，因为随着接近最小值，梯度$\frac{d}{dw}J(w)$逐渐减小，步长自然变小（如图中箭头逐渐缩短）。
• 关键点：在局部最小值处，梯度为零，参数 ( w ) 不再更新。

---

3. 固定学习率下的优化过程（第3张图）

• 动态调整步长：
• 初始阶段：梯度较大，参数更新步长较大（图中 “large” 箭头）。
• 接近局部最小值时：梯度变小，步长自动减小（图中 “smaller” 箭头），无需手动降低α。
• 结论：固定学习率在合理范围内仍可保证收敛，因为梯度本身会调节步长。

---

三幅图的整体关联

1. 学习率的选择（第1张图）是梯度下降能否有效收敛的前提。
2. 局部最小值（第2张图）是优化的目标，固定学习率下可通过梯度自适应达到。
3. 优化过程的动态性（第3张图）解释了为何固定学习率在理论上是可行的——梯度变化自然控制了步长。

关键启示：
梯度下降的成功依赖于合理的学习率，但即使α固定，算法仍能通过梯度变化自适应调整步长，最终收敛到局部最小值（假设函数性质良好，如凸函数或平滑的非凸函数）。