leetcode 53.最大子序和(动态规划) java

题目描述

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

进阶:

如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

思路：
之前在网上看到过一段话，理科的东西不像是文科的东西，需要有一定的感悟或者是一定的艺术熏陶才能理解。理科的东西很多时候都是固定的。很多答案都比较经典。所有不存在理解不了。也许只要换一种表述就能理解。
按照暴力法的求解思路，遍历所有的组合，选择其中的最优解。

通常遍历子序列有三种方式遍历

1. 以一个节点为开头遍历所有的子序列:用题目中的例子举例。
   eg[-2] , [-2,1] , [-2,1,-3] 遍历完所有以 -2 开头的子序列 然后开始遍历以 1 开头的子序列[1] , [1,-3],....。
2. 按照序列的长度遍历，如先遍历长度为一的序列，然后遍历长度为2 的等等。
3. 按照序列的结束为基准，先遍历出某个节点为结束的所有子序列。因为每个节点都有可能是子序列的结束节点。eg以1 为结束的所有子序列[-2] , [-2,1]

第一种的遍历方式通常用于暴力解法。第二种遍历方式可以用于回文,第三种遍历方式通常用于动态规划。
原因是应为动态规划的核心，找到不同子序列之间的递推关系。

综上：我们按照第三种遍历的方式的话 可以得出结果 第 i 位置上的组合有 i 种。如果有 9 个数字的话按照排列组合的算法有 45 个组合。遍历这些组合需要 两层循环 时间复杂度

动态规划的三个核心

步骤

step1
1 开始找最优子结构 以 -2 为结尾的子组合 第一个单元格表示 组合的大小为一的时侯 和最大是多少

显然和最大是 -2

2 第二个子组合是已第二个数字为结尾的连续序列 也就是 [-2 ,1] [1]

最大值是1 第一个单元格表示组合的大小为一的时侯最大值是1 第二个单元格表示组合大小为2 的时候最大值是1

3 第三个子组合是以第三个数字结尾的连续序列，也就是 [-2,1,3], [1,3], [3]，最大值4

这里的组合三 可以分成两种情况

• 继承组合二得到的序列，组合二[-2,1] [1] 继承后 [-2 ,1 ,3] [1,3] 最大值 = 第二组的最大值 + 第三个数字
• 单独第三个数字的序列，也就是[3] 最大值 = 第三个数字

按照这样推如果能得到每个子组合的最优解，也就是子序列的最大值，整体的最大值就可以通过比较这九个子组合的最大值来得到。这样我们就找到了最优子问题。和重叠问题

step2 状态转移方程

step3 状态压缩 优化空间
每次状态更新 只依赖前一个状态。

public class Solution {

    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[len];
        dp[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            if (dp[i - 1] >= 0) {
                dp[i] = dp[i - 1] + nums[i];
            } else {
                dp[i] = nums[i];
            }
        }
        求最大值
        int res = dp[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }

}