容斥定理

最新推荐文章于 2019-01-20 22:01:16 发布

原创最新推荐文章于 2019-01-20 22:01:16 发布 · 728 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

本文深入探讨了容斥原理的基本概念及数学公式，并通过具体的编程实例展示了如何使用递归和迭代两种方式来解决实际问题，包括求解指定范围内与给定集合无关的正整数个数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C

|A1∪A2∪…∪An| = Σ|Ai| - Σ|Ai∩Aj|+Σ|Ai∩Aj∩Ak| - … + |A1∩…∩An|×(-1)^(n+1)

==|Ai|-|Ai∩Aj|+|Ai∩Aj∩Ak|+ |A1∩…∩An|×(-1)^(n+1)
|Aj|-|Aj∩Ak|+|Aj∩Ak∩Al|+...

推得：|A1补∩A2补∩…∩An补| = |S| - |A1∪A2∪…∪An|

hdu1796

theme:给定n,与m个数，求小于n且能被m中任一个数整除的数的个数。

solution：容斥：算出小于n的数中，m中每个数的倍数的并集。该题A1∪A2即A1与A2的最小公倍数。

//给定n,与m个数，求<n且能被m中任一个数整除的数的个数。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define far(i,t,n) for(int i=t;i<n;++i)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;

int a[20];
ll sum=0;
ll n;
int m;

ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(!b)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
}

ll lcm(ll a,ll b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}

void dfs(ll x,int now,int c)
{
//cout<<x<<" "<<now<<" "<<c<<" "<<sum<<endl;
    if(x>=n)
        return;
    if(c&1)
        sum+=(n-1)/x;
    else
        sum-=(n-1)/x;
    for(int i=now+1;i<m;++i)
    {
        if(!a[i])
            continue;
        dfs(lcm(x,a[i]),i,c+1);
    }

}

int main()
{
    while(~scanf("%lld%d",&n,&m))
    {
        sum=0;
        far(i,0,m)
            scanf("%d",&a[i]);
        far(i,0,m)
        {
            if(!a[i])
                continue;
            dfs(a[i],i,1);//每一遍dfs算的是包含a[i]长度为c的并
        }
        printf("%lld\n",sum);
    }
}

迭代算法：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,a[20];
ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
	while (scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF)
	{
		n--;
		int h=1;
		for (int i=1;i<=m;i++)
		{
			scanf("%lld",&a[h]);
			if (a[h]!=0)h++;
		}
		m=h-1;
		ll ans=0,k,id;
		for (int i=1;i<(1<<m);i++)
		{
			k=1;id=0;
			for (int j=0;j<m;j++) if (i&(1<<j)) id++,k=(a[j+1]/gcd(a[j+1],k)*k);//注意一定是要去最小公倍数，不是倍数！！！！！！！！
			if (id&1) ans+=n/k;else ans-=n/k; 
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

题意：若一个集合A内所有的元素都不是正整数N的因数，则称N与集合A无关。

给出一个含有k个元素的集合A={a1,a2,a3,...,ak}，求区间[L,R]内与A无关的正整数的个数。保证A内的元素都是素数。

1<=L<=R<=10^18,1<=k<=20,2<=ai<=100

题解：用相容定理找出有关的数相减：即先找到[L,R]中是a1的倍数或是a2的倍数、、、的数的个数。

递归形式：


#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <map>
using namespace std;
#define LL unsigned long long
const int maxn = 1e2+3;
LL l,r,k;
LL a[maxn]; 
LL sum=0;

/*
当前计算x的倍数的个数,X为A1,或A1∪A2等
now为当前进行到的数组下标
c为当前进行并的元素个数，如c=1代表计算A1、A2等，c为2为计算A1∪A2，
*/
void dfs(LL x,LL now,LL c)//A2∪A3等
{
    if(x>r) return;
    if(c&1){
        sum+=r/x-(l-1)/x;
    }else{
        sum-=r/x-(l-1)/x;
    }
    for(LL i=now+1;i<=k;i++){
        dfs(x*a[i],i,c+1);//这题由于说了是素数，所以任两个元素的最小公倍数就是他们的乘积
    }
}
 
int main()
{
 
    while(~scanf("%llu%llu%llu",&l,&r,&k)){
        sum=0;
        for(LL i=1;i<=k;i++)
            scanf("%llu",&a[i]);
        for(LL i=1;i<=k;i++)
            dfs(a[i],i,1);
        printf("%llu\n",(r-l+1)-sum);
    }
}

迭代形式（二进制容斥）：

for(int i=1;i<(1<<n);++i){
    for(int j=0;j<n;++j){
        if ( ( i >> j ) & 1  )
            符合这个条件表示要计算Aj，j的取值范围为[0,n)   
    }
}