图聚类

图聚类

基于图的聚类。注意这里的图指的不是图片，而是顶点+边构成的图。

将样例用图表示，则通过对图中顶点的划分完成聚类。

图的表示

• 顶点：样本点
• 聚类：顶点的划分
• 边：样本点的相似度

 表示无向图，为点的集合，E为边集，W为权重，表示节点 、 之间相似度

图的划分

图的划分是将图完全划分成若干个子图，个子图无交集。

 

划分要求

• 同子图内的点相似度高
• 不同子图间的点相似度低

损失函数

由划分要求，我们给出损失函数为 ，所以我们的目标就是最小化这个损失函数。

图的划分两种常用方法

• 谱聚类：连续优化方法。通过分析特征向量与特征值，获得聚类结果。
• 最小割：离散优化方法。将最小割转化为最大网络求解。

这里着重讲解一下谱聚类算法。

谱聚类

是一种基于图论的聚类方法，通过对样本数据的拉普拉斯矩阵的特征向量进行分析来完成聚类。

算法流程

1. 计算拉普拉斯矩阵 L 。L=D-W , 其中W为权重矩阵，W为对称矩阵，且主对角线元素都为0；D为度矩阵，Dij,当i!=j时为0，否则Dii为以i为一顶点的所有边权重之和；L为半正定矩阵（即所有特征值非负值），最小特征值为0，且对应的特征向量为单位向量
2. 计算L的特征值与特征向量   
3. 取出最小的前k个特征值对应的特征向量构成一个矩阵