对Floyd算法的理解

Floyd算法（弗洛伊德算法）是用来计算带权图的多源最短路径算法。

设存储图的邻接矩阵为二维数组a[n][n]，则其算法伪码可描述如下：

Floyd:
for (k = 0; k < n; k++)
   for (i = 0; i < n; i++)
      for (j = 0; j < n; j++)
         if (a[i, j] > a[i, k] + a[k, j])
            a[i, j] = a[i, k] + a[k, j]

这里从Floyd算法能否找出最短路径进行理解，以a[1, 2]为例。

这里分为如下四种情况进行说明：

1）a[1, 2]不可达，易于理解，不再说明；

2）a[1, 2]直达，易于理解，不再说明；

3）a[1, 2]通过某一点进行中转，如点3，记该最短路径为点的序列（1， 3， 2）；

4）a[1, 2]通过某些点进行中转，如点5,、3、4，记该最短路径为点的序列（1，5，3，4，2）；

这里从情况（3）开始说明。

看Floyd算法的伪码，一个共包含三个循环，但可以很明显的分成两个部分。第一部分为内层的两个循环，遍历的是所有的点对；第二部分是最外层的那个循环，遍历的是所有的点。那么最直观上的理解就是，对所有点对之间的最短路径，都尝试通过某一点来进行中转，并由此更新最短路径。

那么，明显可以看到的是，在k = 3时，通过a[1, 2]与（a[1, 3]+a[3, 2]）的比较可以确定出第三种情况下的最短路径。

关键在于情况（4）的理解。

在情况（3）中，对于经过某一点p进行中转的最短路径，通过k = p的执行即可理解Floyd对该路径的寻找，但是如情况（4）中，经过多点的中转便不易通过一次执行来理解。这里通过对算法的依次执行来进行理解。

对于路径（1，5，3，4，2）（这里假设该路径即是点1到点2的最短路径，并阐述Floyd算法是如何找到这条最短路径的）：

当k = 3时，会有a[5, 4] = a[5, 3] + a[3, 4]，并且已经可以确定（5，3，4）已经是点5到点4的最短路径了（因为如果存在另外一条更短点5到点4的路径，则有悖于对点1到点2最短路径的假设）。

当k = 4时，会有a[5, 2] = a[5, 4] + a[4, 2]，虽然此时看起来像是（5，4，2），但从上一步中我们知道a[5, 4]中存储的其实是路径（5，3，4）的长度。所以，此时a[5, 2]代表的其实是路径（5，3，4，2）。

当k = 5时，会有a[1, 2] = a[1, 5] + a[5, 2]，此时便找到了（1，5，3，4，2）这条路径（此时，式中a[5, 2]代表的是路径（5，3，4，2）的长度）。

从上述的叙述中可以看到，对于任意两点之间存在的一条最短路径，Floyd算法都可以找到这条路径。

而且可以看到的是，该算法对于循环嵌套的顺序，以及循环遍历的顺序都没有要求。

最后指出的是，第一部分循环（即对k的循环）和第二部分循环（即对i、j的循环），两部分循环的顺序不可颠倒。而对于k的遍历顺序则没有要求，无论是増序遍历（++i）、降序遍历（--i），或是任何无序的遍历。

这是我的理解，如有错误请指正。