欧式距离和余弦距离

欧式距离的向量推导形式

它通过向量的模长和点积来表示两个向量之间的欧式距离，核心是利用向量运算的余弦定理展开：

这种推导方式把欧式距离和向量的几何属性（模长、夹角）关联起来，更清晰地体现了它的几何意义 ——两个向量在空间中的直线距离，是欧式距离定义在向量运算场景下的严谨表达。

欧式距离的非向量推导形式

这种非向量推导形式更直观地体现了欧式距离的 “坐标差累积” 本质，无需依赖向量的模长和点积概念，直接通过坐标数值的运算即可计算两点在空间中的直线距离。

欧式距离的向量推导形式和非向量推导形式的应用场景

向量点积

余弦距离

文本相似度：在 NLP 中，用向量表示文本（如词袋模型、TF-IDF），通过余弦距离衡量文本主题的差异
推荐系统：用向量表示用户 / 物品偏好，余弦距离越小，用户兴趣或物品属性越相似
聚类/分类：在关注 “方向相似性” 而非 “数值大小” 的场景（如判断两个文档的主题是否一致），余弦距离比欧式距离更有效

余弦距离在图像识别领域的应用场景

特征匹配、分类、检索和跟踪

人脸识别

余弦距离用于衡量人脸特征向量的相似度。例如，通过 FaceNet 等模型提取人脸的高维特征向量后，计算待识别人脸与数据库中人脸特征向量的余弦距离，距离越小则相似度越高，从而实现身份识别

这种方法对人脸的姿态、表情变化具有较好的鲁棒性，能有效区分不同个体

图像分类

余弦距离可用于衡量图像特征向量与各类别中心特征向量的相似度。例如，提取图像的 ORB、SIFT 等局部特征并转换为向量后，通过计算待分类图像特征向量与各预设类别特征向量的余弦距离，将其归类到距离最小的类别中。

此外，还可结合支持向量机（SVM）等分类器，以余弦距离作为特征空间的度量，提升分类准确性。

图像检索

余弦距离用于计算查询图像与数据库中图像特征向量的相似度，从而返回相似图像。例如，当用户输入一张汽车图片时，系统提取其特征向量，与数据库中所有汽车图像的特征向量计算余弦距离，按距离从小到大排序后返回最相似的图像。

这种方法能有效捕捉图像的语义相似性
即使图像在像素层面差异较大，只要特征方向一致（如同一类别的不同车型），也能被检索出来

多目标跟踪（如 DeepSort）

在 DeepSort 等多目标跟踪算法中，余弦距离用于衡量目标外观特征的相似度。通过卷积神经网络提取目标的外观特征向量后，计算当前帧检测框与已有轨迹特征向量的余弦距离，结合匈牙利算法实现目标的跨帧匹配，有效解决了遮挡、重叠等场景下的跟踪难题。

欧氏距离代码

import numpy as np

x = np.random.random(10)
y = np.random.random(10)

# solution1
dist1 = np.linalg.norm(x-y)

# solution2
dist2 = np.sqrt(np.sum(np.square(x-y)))

print('x',x)
print('y',y)
print('dist1',dist1)
print('dist2',dist2)

余弦距离代码

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import pdist
 
x=np.random.random(10)
y=np.random.random(10)
 
# solution1
dist1 = 1 - np.dot(x,y)/(np.linalg.norm(x)*np.linalg.norm(y))
 
# solution2
dist2 = pdist(np.vstack([x,y]),'cosine')
 
print('x',x)
print('y',y)
print('dist1',dist1)
print('dist2',dist2)

证明对特征向量进行L2范数归一化后，欧式距离和余弦距离可以等价

对特征向量进行 L2 范数归一化后，欧式距离与余弦距离存在单调的等价关系（可通过对方直接推导得到）
因此在这种情况下两者可以等价衡量向量间的相似度（差异程度）