loj 2038 / 洛谷 P4345 [SHOI2015] 超能粒子炮・改 题解【Lucas定理】

本文介绍了一种基于Lucas定理的算法,用于高效计算超能粒子炮・改的粒子流威力总和模2333的值。通过将问题转化为组合数的求和,利用杨辉三角进行预处理,实现了O(1)时间复杂度的解决方案。

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好玩的推式子

题目描述

曾经发明了脑洞治疗仪与超能粒子炮的发明家 SHTSC 又公开了他的新发明:超能粒子炮・改——一种可以发射威力更加强大的粒子流的神秘装置。

超能粒子炮・改相比超能粒子炮,在威力上有了本质的提升。它有两个参数 nnnkkk,它会向每个编号为 000kkk(包含两端)的位置 iii 发射威力为 Cni mod 2333\mathrm{C}_n^i \bmod 2333Cnimod2333 的粒子流。

现在 SHTSC 给出了他的超能粒子炮・改的参数,让你求出其发射的粒子流的威力之和除以 233323332333 所得的余数。

输入格式:

第一行一个整数 ttt 表示数据组数。
之后 ttt 行,每行两个整数 nnnkkk,含义如题面描述。

输出格式:

ttt 行,每行一个整数,表示其粒子流的威力之和模 233323332333 的值。

输入输出样例

输入样例:

3
5 5
10 7
1145 14

输出样例:

32
968
763

数据范围与约定

对于 10%10\%10% 的数据,t=1t=1t=1n,k≤1000n,k\le 1000n,k1000
对于 30%30\%30% 的数据,t=1t=1t=1n,k≤1000000n,k\leq 1000000n,k1000000
对于 50%50\%50% 的数据,t=1t=1t=1n≤1018,k≤1000n\le 10^{18},k\le 1000n1018,k1000
对于 70%70\%70% 的数据,t≤100t\le 100t100n,k≤1018n,k\le 10^{18}n,k1018
对于 100%100\%100% 的数据,t≤100000t\le 100000t100000n,k≤1018n,k\le 10^{18}n,k1018

题解:

注:本文中所有的除法 ///向下取整,所有的百分号 %\%% 都表示取模。

这个题求的是 ∑i=0kCni mod 2333\sum_{i=0}^k\mathrm{C}_n^i\bmod 2333i=0kCnimod2333。但是模数是 233323332333 因此可以考虑 Lucas 定理,即 Cnm%p=Cn%pm%pCn/pm/p\mathrm{C}_n^m\% p=\mathrm{C}_{n\% p}^{m\% p}\mathrm{C}_{n/p}^{m/p}Cnm%p=Cn%pm%pCn/pm/p

我们把上面的和式推导一下,则为
∑i=0kCn/2333i/2333Cn%2333i%2333 \sum_{i=0}^k\mathrm{C}_{n/2333}^{i/2333}\mathrm{C}_{n\%2333}^{i\%2333} i=0kCn/2333i/2333Cn%2333i%2333
然后我们发现,整个过程中 n/2333n/2333n/2333n%2333n\% 2333n%2333 是不变的。只需要关注 i/2333i/2333i/2333i%2333i\%2333i%2333 的变化规律。

而对于连续的 i∈[2333k,2333k+2333)i\in[2333k,2333k+2333)i[2333k,2333k+2333) 它们的 i/2333i/2333i/2333 是相同的,i%2333∈[0,2333)i\%2333\in[0,2333)i%2333[0,2333),所以我们把需要求和的 kkk 个数分成 ⌈k2333⌉\left\lceil\frac{k}{2333}\right\rceil2333k 段。其中前 ⌊k2333⌋\left\lfloor\frac{k}{2333}\right\rfloor2333k 段一定是完整的,因此可以表示为
∑t=0⌊k2333⌋Cn/2333t∑i=02332Cn%2333i+∑i=k−k%2333kCn/2333i/2333Cn%2333i%2333 \sum_{t=0}^{\left\lfloor\frac{k}{2333}\right\rfloor}\mathrm{C}_{n/2333}^t\sum_{i=0}^{2332}\mathrm{C}_{n\%2333}^i+\sum_{i=k-k\%2333}^k\mathrm{C}_{n/2333}^{i/2333}\mathrm{C}_{n\%2333}^{i\%2333} t=02333kCn/2333ti=02332Cn%2333i+i=kk%2333kCn/2333i/2333Cn%2333i%2333
对于加号后面的式子,i/2333=0i/2333=0i/2333=0,所以是对后面一个式子求和,因此可以用杨辉三角预处理,并求出前缀和,O(1)O(1)O(1) 解决。

对于中间一个式子 ∑i=02332Cn%2333i\sum_{i=0}^{2332}\mathrm{C}_{n\%2333}^ii=02332Cn%2333i ,因为 n%2333&lt;2333n\%2333&lt;2333n%2333<2333 ,同理用杨辉三角。


∑i=02332Cn%2333i=S, ∑i=k−k%2333kCn/2333i/2333Cn%2333i%2333=A \sum_{i=0}^{2332}\mathrm{C}_{n\%2333}^i=S,\\\ \sum_{i=k-k\%2333}^k\mathrm{C}_{n/2333}^{i/2333}\mathrm{C}_{n\%2333}^{i\%2333}=A i=02332Cn%2333i=S, i=kk%2333kCn/2333i/2333Cn%2333i%2333=A
则原式为
S∑t=0⌊k2333⌋Cn/2333t+A S\sum_{t=0}^{\left\lfloor\frac{k}{2333}\right\rfloor}\mathrm{C}_{n/2333}^t+A St=02333kCn/2333t+A

对于剩下的一个式子,又转化为了一个求和的子问题,因此我们递归解决。递归的边界是 k&lt;2333k&lt;2333k<2333

因此可以在 23332+O(tlog⁡k)2333^2+O(t\log k)23332+O(tlogk) 的时间复杂度内解决这个问题。

Code:

#include<cstdio>
#define ll long long
ll C[2333][2333];
ll calc(ll n,ll t)//0~t的C_n^t
{
    ll ans=0,p=n%2333;
    if(t/2333)
        ans=C[p][p]*calc(n/2333,t/2333-1)%2333;
    else
        return C[p][t%2333];
    ll a=n/2333,b=t/2333,tmp=1;
    while(a>=2333||b>=2333)
    {
        if(b%2333)
            tmp=tmp*(C[a%2333][b%2333]-C[a%2333][b%2333-1]+2333)%2333;
        a/=2333,b/=2333;
    }
    if(b)
        tmp=tmp*(C[a][b]-C[a][b-1]+2333)%2333;
    ans=(ans+C[p][t%2333]*tmp)%2333;
    return ans;
}
int main()
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=2332;++i)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;++j)
            C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%2333;
    }
    for(int i=0;i<=2332;++i)
        for(int j=1;j<=2332;++j)
            C[i][j]=(C[i][j-1]+C[i][j])%2333;
    int T;
    ll n,k;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        printf("%lld\n",calc(n,k));
    }
    return 0;
}
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