树形DP luogu P2014 【选课】

最新推荐文章于 2024-05-31 23:09:57 发布

原创最新推荐文章于 2024-05-31 23:09:57 发布 · 277 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#题解 #DP #树形DP

解题报告专栏收录该内容

5 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种结合树形动态规划（DP）与背包思想的算法，解决学生如何选择课程以最大化学分的问题。通过构建课程之间的依赖关系图，利用DFS遍历树形结构，实现高效的子问题求解。

【选课】这道题看上去是一道进阶版的树形DP，因为其中嵌套了一定的背包的思想

题目描述 在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有N门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程a是课程b的先修课即只有学完了课程a，才能学习课程b）。一个学生要从这些课程里选择M门课程学习，问他能获得的最大学分是多少？
输入输出格式
输入格式：
第一行有两个整数N,M用空格隔开。(1<=N<=300,1<=M<=300)
接下来的N行,第I+1行包含两个整数ki和si, ki表示第I门课的直接先修课，si表示第I门课的学分。若ki=0表示没有直接先修课（1<=ki<=N, 1<=si<=20）。
输出格式：
只有一行，选M门课程的最大得分。
输入样例
7 4
2 2
0 1
0 4
2 1
7 1
7 6
2 2
> 输出样例
13

代码流程：首先建树存图，这里的处理有一个小技巧，就是如果有多个根结点，那么不容易进行DFS，所以我们构造出一个0 结点，刚好，输入时也是用0 来代替的，这样只用在最后输出时调用 $\mathrm{[m+1]}$ 即可。s数组代表该结点有几个儿子，之后在DFS中更新为后代个数，p数组代表结点的权值，（图中黑色数字）

然后开始DFS，DFS的回溯是树形DP的重点以及核心。

我们DFS的搜索边界是链表的尾端，当回溯结束后， $root$ 的子树已经被遍历完并处理完了。这便是树形DP的最重要的特点。

背包过程中嵌套了三重循环（实际加上DFS的是四重），首先 $\mathrm {r=root->next}$ 枚举了 $\mathrm {root}$ 的子树子树间不会互相影响，所以这些可以分开做。但是j 和k 的顺序一定要分好，因为是相当于01 背包，所以k 要倒序，j 是用来枚举 $\mathrm {r->data}$ 即正在遍历的点的儿子个数，因为现在正在遍历的点已经被DFS过了（要不然不会退到这个 $x$ 结点的），则它是当前状况的最优解，可以从那边转移过来。但是k 一定要在j 前面，因为当k 相同时，不同的j 可能存在包含相同点的情况，为了避免这种情况，我们选择把k放在外面。这样 $f[x][k]$ 就不会重复更新涉及相同的点了——举个栗子

如果k循环在j里面的话，当我们更新到图中2号结点后，1号结点的f[x][k]会被更新，
在k++;后，f[x][k]在符合情况时会继续更新，这样就会导致结果出错（偏大）的情况出现

背包核心：

    while(r!=0)
    {
        for(int k=s[x];k>=1;k--)
            for(int j=1;j<=k;j++)//j是枚举r->data的选科个数
            //其中j<=k防止数组越界
                    f[x][k]=max(f[x][k],f[x][k-j]+f[r->data][j]);
        r=r->next;//链表继续遍历
    }
    for(int i=s[x];i>=0;i--)
        f[x][i+1]=f[x][i]+p[x];

为什么最后两行要单独拿出来做呢？

for(int i=s[x];i>=0;i--)
        f[x][i+1]=f[x][i]+p[x];

我们回到题面上，父亲是儿子的先修课，所以没有父亲时，儿子再多也没有用，背包中处理的子树是不带根结点的，我们要加上，否则会出现下面这种状况：

如果在做的过程中将根结点算入子树，那么 $\mathrm f[1][2]$ 最终值将会是 $11$ （在正确的过程中也是 $11$ ，但是会被更新到 $\mathrm$ f[1][3] ），不做更新或再去做一遍更新就不对了，核心思想结束。

最后输出的是 $\mathrm f[0][m+1]$ ，所以0 这个“根结点”是非常方便的。

总结：

树形DP要根据实际情况，改变循环顺序和方向；
要判断根结点是否包含在子树，并在这个判断最终稍加处理
状态要保存准确，不能丢失要用到的状态
Code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
struct node
{
    int data;
    node *next;
    node()
    {
        next=NULL;
    }
};
node head[301],*tail[301];//用于链表
int f[301][301],s[301],n,m,p[301];
void dfs(int x)
{
    node *root;
    root=&head[x];
    node *r=root->next;
    while(root->next!=0)
    {
        root=root->next;
        dfs(root->data);
        s[x]+=s[root->data];
    }
    //开始背包
    while(r!=0)
    {
        for(int k=s[x];k>=1;k--)
            for(int j=1;j<=k;j++)//j是枚举r->data的选科个数
                    f[x][k]=max(f[x][k],f[x][k-j]+f[r->data][j]);
        r=r->next;
    }
    for(int i=s[x];i>=0;i--)
        f[x][i+1]=f[x][i]+p[x];
    return ;
}
int main()
{
    memset(s,0,sizeof(s));
    memset(f,0,sizeof(f));
    int a,b;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        tail[i]=&head[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)//建树存图
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        s[a]++;
        node *t=new node();
        t->data=i;
        p[i]=b;
        tail[a]->next=t;
        tail[a]=t;
    }
    dfs(0);
    printf("%d\n",f[0][m+1]);//m+1是因为把0当做一个结点（课程）
    return 0;
}