用python学习数据结构与算法(1):基本概念

引子

一道算法题：“求出满足a+b+c=1000和a^2+b^2=c^2的所有a，b，c的自然数组合”。

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首先可以想到的就是枚举法。
根据题意，a，b，c取最大范围，它们都是0到1000的数，所以可以得到下面的算法。
算法I

for a in range(1001):
    for b in range(1001):
        for c in range(1001):
            if a+b+c==1000 and a**2+b**2==c**2:
                print("a,b,c: %d,%d,%d" %(a,b,c))

上面的算法有三个循环的嵌套，可以简单的简化一下，通过第一个条件限定c的范围。
算法II

for a in range(1001):
    for b in range(1001):
        c=1000-a-b
        if a**2+b**2==c**2:
            print("a,b,c: %d,%d,%d" %(a,b,c))

算法介绍

概念

算法是独立存在的一种解决问题的方法和思想。

特性

1. 输入：算法有0或者多个输入
2. 输出：算法有1或者多个输出
3. 有穷性：算法是在有限步骤和可接受的时间内解决问题的方法
4. 确定性：算法的每一步都有确定的含义，没有二异性
5. 可行性：算法可以用程序语言实现

时间复杂度与“大O记法”

对于抽象的算法，通常无法作出精确度量。这种情况下就要设法估计算法复杂性的量级。对于算法的时间和空间性质，最重要的是其量级和趋势，这些是代价的主要部分，而代价函数的常量因子可以忽略不计。据此，人们提出了“大O记法”。

“大O记法”

定义：对于单调的整数函数f，如果存在一个整数函数g和实常数c>0，使得对于充分大的n总有f(n)<=c·g(n)，就说函数g是f的一个渐近函数（忽略常量因子），记为f(n)=O(g(n))。在n趋于无穷大的情况下，函数f的增长速度受到函数g的约束。

时间复杂度

定义：假设存在函数g，使得算法A处理规模为n的问题实例所用时间T(n)=O(g(n))，则称O(g(n))为算法A的渐近时间复杂度，即时间复杂度。

最优时间复杂度

算法运行最少需要多少的基本操作（研究意义不大）

平均时间复杂度

算法运行平均需要多少的基本操作（对算法的全面评价）

最坏时间复杂度

算法运行最多需要多少的基本操作（提供了保证在此种程度下一定能完成工作的复杂度）

实际中主要关注最坏时间复杂度

时间复杂度的计算规则

1. 对于基本步骤和常数项，认为T(n)=O(1)
2. 对于顺序结构，T(n)按照加法进行计算
3. 对于循环结构，T(n)按照乘法进行计算
4. 对于分支结构，T(n)取复杂度最大的情况
5. 计算时间复杂度关注最高次项，忽略其他次要项和常数项
6. 使用最坏时间复杂度准则

对算法I和算法II进行时间复杂度的计算

算法I

T(n)=n*n*n*2=n^3*2
忽略常数项
故，T(n)=O(n^3)

算法II

T(n)=n*n*2=n^2*2
忽略常数项
故，T(n)=O(n^2)