[深入理解计算机系统] 计算机中的信息表示

 计算机不直接表示小数点，为了简化设计与制造，默认小数点位于数值的前部或者后部。这样的数据称为定点数，小数点被默认位于数值前部的叫顶点小数，被默认位于数值后部的叫定点整数。一般的计算机只选择实现一种定点数。

 在定点数表示格式中，最高位被当做符号位。也就是说，定点数的最高位为0，表示它是正数；为1，表示它是负数。

 补码转换方法：正数的补码就是它的原码；负数的补码就是将其原码，除符号位外，每位取反（即0变成1,1变成0），然后在最低位加1而得。（The Least Sianificant Bit）

 对于正数，反码就是与原码和补码相同，直接在二进制数值前面加上符号位“0”即可。对于负数，反码就是将负号“-”替换成“1”，然后将二进制数值逐位取反而得到。

 如果我们给每一个二进制整数的真值加上一个常数2^n(n为二进制真值的位数)，使得正数的最高位变成“1”，负数的最高位变成“0”，那么，机器比较得到的两个数之间的相对大小就是其真实的相对大小。这样得到的编码称为“移码（Bias）”。

例：求下列真值的原码，反码和补码

+1110B

原码：0,1110B;反码：0,1110B;补码：0,1110B

-1110B

原码：1,1110B;反码：1,0001B;补码：1,0010B

+0.0001000B

原码：0.0001000B;反码：0.0001000B;补码：0.0001000B

-0.0001000B

原码：1.0001000B;反码：1.1110111B;补码：1.1111000B

 计算机能够直接处理的数只能是定点数，要么是定点小数，要么是定点整数。如何用定点数来表示小数点位置“浮动的”实际数据——浮点数？解决这个问题可以转化为科学计数法。

  采用科学计数法，浮点数N将被表示成N=M*R^E。式中，M称为尾数，是一个带小数点的实数；R称为基值，是一个常整数；E称为阶码，是一个整数。

  浮点数表示的工业标准——IEEE标准754

  在IEEE标准754中，浮点数的最高位为尾数符号位S，次高位字段为以移码表示的阶码E，低位字段为尾数F（F=b0b1b2~bp-1），其中P为尾数的位数，基值为2。

1985年发布的标准有以下4种格式的浮点数：

（1）基本的单精度格式（也称短实数）：E占8位，F占23位，共32位；

（2）基本的双精度格式（也称长实数）：E占11位，F占52位，共64位；

（3）扩充的单精度格式：E>=11位，F>=31位；

（4）扩充的双精度格式：E>=15位，F>=63位；

  目前，在计算机上广泛采用的是基本的单精度与双精度格式。单精度格式的阶码E的表数范围在1~254之间（偏移127），对应的实际阶码值在-126~+127之间。双精度格式的阶码的表数范围在1~2046（偏移1023），对应的实际阶码值在-1022~+1023之间。

  IEEE标准754规定：规格化尾数在小数点前还有一位隐含的“1”。

   其好处在于尾数的有效数字增加一位，即对于基本的单精度与双精度格式，它们尾数的有效数字分别是24位和53位。因此，绝对值最小的规格化数分别为±2^(-126)和±2^(-1022)（对应E=1，F=0），绝对值最大的规格化数分别为±(2-2^(-23))*2^127和

±(2-2^(-52))*2^1023。

例：将十进制数-53/512按照IEEE标准754分别表示成短实数与长实数。

-53/512=-0.000110101B

-0.000110101B=（-1.10101）*2^(-100B)

数符位S为1，阶码E十进制为-4+127=123，转换为二进制为01111011B

尾数后位补0

=1,011  1101  1,101  0100  0000  0000  0000  0000

=BDD40000H

//长实数可自行推导