Digimat-MF：广义平均结果（General averaging results）

探讨了两尺度方法中解决RVE问题的关键步骤及边界条件的影响。在经典连续介质力学背景下，通过线性位移和均匀力两种边界条件，阐述了如何确保宏观应变与应力等同于其在RVE上的体积平均值。

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　　两尺度（更广义的是多尺度）方法的主要困难是求解RVE问题。在宏观层级上进行经典连续介质力学分析时，每个宏观点 $\mathbf{X}$ 上，给定宏观应变 $\mathbf{E\left( X \right)}$ ，需要求解宏观应力 $\mathbf{\sigma \left( X \right)}$ ，反之亦然。
　　在RVE（区域为 $\omega$ ，体积为 $V$ ）上对场 $f$ 进行的平均化定义为：

⟨ f (X, x) ⟩ \equiv 1 V \int ω f (X, x) d V

$\left\langle {f\left(\mathbf{ {X,x} }\right)} \right\rangle \equiv \frac{1}{V}\int_\omega {f\left(\mathbf{ {X,x} }\right)dV}$
其中，积分是在微观坐标上进行的，

f(X,x) $f\left( {\mathbf{{X,x}}}\right)$ 是RVE内部的微观场。
　　以下为了简化表述，省略了宏观坐标

X $\mathbf{X}$ 。考虑两种经典的边界条件：（1）线性位移；（2）均匀力。前者对应的宏观应变（或者施加的宏观位移梯度），后者对应已知的宏观应力。

宏观位移梯度 $\mathbf{G}$ 和应变 $\mathbf{E} = \left( {\mathbf{G} + {\mathbf{G}^T}}\right)/2$

　　在微观层级，RVE的边界 $\partial \omega$ 上施加线性位移

u i (x) = G i j x j, x \in \partial ω

${u_i}\left(\mathbf{x} \right) = {G_{ij}}{x_j},\;\;\;\;\;\mathbf{x} \in \partial \omega$
　　结果：平均应变等于宏观应变，即

⟨εij⟩=Eij $\left\langle {{\varepsilon _{ij}}} \right\rangle = {E_{ij}}$ 。

宏观应力 $\mathbf{\sigma }$

　　在微观层级，在边界 $\partial \omega$ 上施加力：
　　

F i (x) = σ i j n j (x), x \in \partial ω

${F_i}\left( \mathbf{x} \right) = {\sigma _{ij}}{n_j}\left( \mathbf{x} \right),\;\;\;\;\;\mathbf{x} \in \partial \omega$
其中，

n $\mathbf{n}$ 为边界

∂ω $\partial \omega$ 上朝外的单位法向量。
　　结果：平均应力等于宏观应力

⟨ σ i j ⟩ = σ i j

$\left\langle {{\sigma _{ij}}} \right\rangle = {\sigma _{ij}}$

结论

　　对于处在经典边界条件下的RVE，宏观应变和应力等于RVE的体积平均值（RVE内部的微观应变和应力是未知的）。
　　考虑任意自平衡的微观应力场和微观应变场

σ * i j = σ * j i, \partial σ * i j \partial x j = 0, \forall x \in ω, ε * i j = 1 2 (\partial u * i \partial x j + \partial u * j \partial x i)

$\sigma _{ij}^ * = \sigma _{ji}^ * ,\;\;\frac{{\partial \sigma _{ij}^ * }}{{\partial {x_j}}} = 0,\;\;\;\forall \mathbf{x} \in \omega ,\;\;\;\;\varepsilon _{ij}^ * = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial u_i^ * }}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\partial u_j^ * }}{{\partial {x_i}}}} \right)$
其中

u(X) $\mathbf{u}\left( \mathbf{X} \right)$ 是与

ε∗(X) ${\varepsilon ^ * }\left( \mathbf{X} \right)$ 对应的微观位移场。
　　注意：

σ∗(X) ${\sigma ^ * }\left( \mathbf{X} \right)$ 和

ε∗(X) ${\varepsilon ^ * }\left( \mathbf{X} \right)$ 不需要相关。
　　如果

ε∗(X) ${\varepsilon ^ * }\left( \mathbf{X} \right)$ 满足在边界

∂ω $\partial \omega$ 上的线性位移边界条件（1）或者

σ∗(X) ${\sigma ^ * }\left( \mathbf{X} \right)$ 满足在边界

∂ω $\partial \omega$ 上的均匀力边界条件（2），那么

⟨ σ * : ε * ⟩ = ⟨ σ * ⟩ : ⟨ ε * ⟩

$\left\langle {{\sigma ^ * }:{\varepsilon ^ * }} \right\rangle = \left\langle {{\sigma ^ * }} \right\rangle :\left\langle {{\varepsilon ^ * }} \right\rangle$
　　这就是熟知的Hill’s macro-homogeneity condition或者Hill-Mandell条件。在线弹性情况下，条件有着简单有力的解释：如果

σ∗(X) ${\sigma ^ * }\left( \mathbf{X} \right)$ 和

ε∗(X) ${\varepsilon ^ * }\left( \mathbf{X} \right)$ 相关，那么微观能的平均值等于宏观能。