Digimat-MF：平均场均匀化——（五）方向张量

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　　在实际的复合材料中，方向分布函数（ODF）很难通过实验测定或者通过数值方法预测。
　　在定义方向张量之前，首先引入方向平均的表示方法。令$\mu \left( \mathbf{p} \right)$为RVE内部的一个方向场，它的方向平均是对利用ODF权重后的方向场在所有方向上进行积分：
$${\left\langle {\mu \left( \mathbf{p} \right)} \right\rangle _{{\psi _i}}} = \oint {\mu \left( \mathbf{p} \right){\psi _i}\left( \mathbf{p} \right)d} \mathbf{p}$$
　　二阶和四阶方向张量$\mathbf{a}$和$\mathbf{A}$是以下方向平均：
$$\mathbf{a} \equiv {\left\langle {\mathbf{p} \otimes \mathbf{p}} \right\rangle _\psi },\;\;\;\;\mathbf{A} \equiv {\left\langle {\mathbf{p} \otimes \mathbf{p} \otimes \mathbf{p} \otimes \mathbf{p}} \right\rangle _\psi }$$
其中，$\mathbf{a}$和$\mathbf{A}$分别是方向场$\mathbf{p}$的统计二阶和四阶矩。这两个张量给出了RVE内部夹杂的平均方向信息。从定义可以看出，这些张量满足一系列条件：
$${a_{ij}} = {a_{ji}},\;\;\;{a_{11}},{a_{22}},{a_{33}} \ge 0,\;\;\;\;{a_{ii}} = 1$$
$${A_{ijij}} \ge 0(非求和),\;\;\;\;{A_{ijll}} = {a_{ij}}$$
　　Digimat-MF检查用户关于二阶张量$\mathbf{a}$的输入。其中后者存储在一个$3 \times 3$的对称矩阵中。
　　一些特殊的方向张量表达式：
　　（1） diag(1,0,0)为沿1方向对齐；
　　（2） diag(1/2,1/2,0)为垂直3方向的平面（1-2平面）内随机分布；
　　（3） diag(1/3,1/3,1/3)为空间随机分布。

【本文译自Digimat-MF帮助文档。】