最大不可购得数算法-优快云博客

历届试题买不到的数目

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问题描述

小明开了一家糖果店。他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。

小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式

两个正整数，表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)

输出格式

一个正整数，表示最大不能买到的糖数

样例输入1

4 7

样例输出1

17

样例输入2

3 5

样例输出2

7

问题分析：

我第一次提交的时候，运行错误，得了66分。原因是买不到的数目最大上界不会确定。

后来参见了一下光仔December 的博客中的代码，发现他用最小公倍数来确定上界了。然后我将自己的代码改了一下，运行通过。

这里贴出光仔December那篇博文链接：http://blog.youkuaiyun.com/acmman/article/details/18556645，2014年2月15日。

首先理性的分析一下，买不到的数目的最大上界要怎么确定：

这里俺没学过数论，就自己稍微分析一下哈。

假设我们输入两个数： a , b。

然后假设它们的最小公倍数就是lcm = a * b 。

那么为什么上界就是 lcm 呢?

不急，这里我们再假设两个常数C1，C2。

lcm = a * C1

lcm = b * C2

如果lcm之后还能找到，那么就相当于输入了两个lcm了。两个相同的数能组合成后面所有的数么？肯定不能。

所以，lcm 就是上界了。

我思路很混乱，我的意思是....相当如输入了两个lcm，而输入两个相同的数字是不可能找到最大不可能组成的数字的。如果输入两个偶数，肯定找不到最大不能组成的数字（偶数不可能组成奇数）。如果输入两个相同的奇数（lcm）。。。则叠加，相当于一倍奇数，二倍奇数，三倍奇数............也不存在最大不能组成的。.

ps：这题目应该说明，输入的两个数字不能相同，且最小的数字必须大于1 。

如何判断num （1 <= num <= lcm）是否能被买到。

其实严格来说应该是（ min(m,n) <= num <= lcm）。

这里已经知道上界了，所以我们可以从后往前找最大不能买到的数目。

那具体如何找呢？

假设，输入的两数为 m , n 。

那么有： num = m * tm + n * tn （这里tm表示用到的m个数，tn表示用到的n个数）

很容易知道： tm >=0 , tn >= 0 且不能同时等于0,。（同时为0那不就是=0，肯定不行啦）。

然后假设 tn = 0; 得到 tm = num / m ，这就是tm的最大值了。

同理 tn = num / n ，为tn的最大值。

然后，开始了我们的枚举操作................................

好了，就分析到这里了。具体看代码。

ps：如果不会求最小公倍数可以参见我的这篇文章：http://blog.youkuaiyun.com/jopus/article/details/18971035

#include <stdio.h>  
//返回最大公约数   
int gcd(int a, int b)    
{    
    return a%b == 0?b:gcd(b,a%b);     
}    
//返回最大买不到的数目   
int Nobuy(int m, int n)  
{  
    int flag = 0, num = 0, tm = 0, tn = 0, lcm = 0;  
      
    lcm = m*n/gcd(m,n);  //lcm表示：m,n的最小公倍数   
    for (num = lcm; num >= 1; --num)  //num表示当前判断数   
    {  
        flag = 0;                     //flag用于标记   
        for (tm = 0; tm <= num/m; ++tm) //tm表示用到的m个数   
        {  
            for (tn = 0; tn <= num/n; ++tn)//tn表示用到的n个数   
            {  
                if ((tm != 0 || tn != 0) && num % (m*tm + n*tn) == 0) //判断m,n能否凑成num,（m,n个数不能全为0）   
                {  
                    flag = 1;  //能凑成num   
                    break;  
                }  
            }  
            if (flag == 1)  
                break;  
        }  
        if (flag == 0)   //不能凑成num   
            break;  
    }  
    return num;  
}  
int main()  
{  
    int m = 0, n = 0;  
    scanf("%d%d",&m,&n);   
    printf("%d",Nobuy(m,n));  
    return 0;  
}

另一种思路：

#include<iostream>  
  
using namespace std;  
  
int main()  
{  
      
    int a,b;  
    cin>>a>>b;  
    cout<<a*b-a-b<<endl;  
      
}

证明：

1 首先证明，关于x，y的不定方程： x*a+y*b=a*b-a-b 无非负整数解

反设这个方程有解，变形一下，x*a+（y+1）*b=a*b-a ，则推出a|(y+1)*b (|是整除符号)，

那么由于（a,b）=1 ,推出， a|y+1 ，由于y+1!=0, 这样y+1>=a

带回原方程，x*a+(y+1)*b>=0*a+a*b>=ab>ab-a, 和原方程矛盾。

2 其次证明如果n>ab-a-b ，方程x*a+y*b=n 一定有非负整数解。

只需证明：

取l>=1 证明a*b-a-b+l =x*a+y*b 一定有非负整数解。

先考虑如下一个方程，x*a+y*b=l （l，不是1），有裴蜀定理，这个方程一定有无穷多组整数解，取出一组解，不妨设 x0*a-y0*b=l x0>=1 ,y0>=0;再使得y0满足y0<=a-1

由于所有解里面y的取值是mod a 同余的，一定可以取到0~a-1这个范围里面）

取出来了这个x0，y0以后，带回方程a*b-a-b+l =x*a+y*b ，

则 a*b-a-b+l =a*b-a-b+(x0*a-y0*b)=(a-y0-1)*b+(x0-1) *a ， a，b的系数都是非负的了，所以解找到了。

综合1，2两部，ab-a-b 不可以被表示，大于ab-a-b的整数通通可以被表示

证毕