TAOCP-1.1

1. 算法E（欧几里得算法）

给定两个正整数m和n，求它们的最大公约数，即能够同时整除m和n的最大正整数。

E1. [确保m≥n] 如果m<n, 交换m⟷n。
E2. [求余数] 以n除m并令r为所得余数。（我们将有0≤r≤n。）
E3. [余数为零?] 若r = 0, 算法结束, n即为答案。
E4. [减少] 置 m←−n,n←−r,并返回步骤E2

1.1 C实现

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>

uint32_t cycles;

int32_t gcd(uint32_t m, uint32_t n)
{
    uint32_t r;

    while ((r = (m % n)) !=0) {
        m = n;
        n = r;
        cycles++;
    }
    return n;
}

int main(void)
{
    uint32_t m = 119,  n = 544;
    uint32_t ret;

    if (m < n)
        ret = gcd(n, m);
    else
        ret = gcd(m, n);

    printf("The gcd of %d and %d is: %d, cycles: %d\n", m, n, ret, cycles);

    return 0;
}

运行结果:

[root@localhost ch1]# make
gcc -Wall -O3 e.c -o e
[root@localhost ch1]# ./e 
The gcd of 119 and 544 is: 17, cycles: 3

2. 习题

Q-3.（为了提高效率）改变算法E使得像"m←−n"这样平凡的替代运算都加以避免。以算法E的风格来写出这个新算法，称之为算法F。

算法F（欧几里得算法,提高效率）

给定两个正整数m和n，求它们的最大公约数，即能够同时整除m和n的最大正整数。

F1. [求余数] 以n除m并令m为所得余数。（我们将有0≤m≤n。）
F2. [余数为零?] 若m = 0, 算法结束, n即为答案。
F3. [求余数] 以m除n并令n是余数
F4. [余数为零?] 若n = 0, 算法结束, m即为答案，否则返回F1

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>

uint32_t cycles;

int32_t gcd(uint32_t m, uint32_t n)
{

    int flag;

    while(1) {
        cycles++;
        m %= n;
        if (!m) {
            flag = 1;
            break;
        }
        n %= m;
        if (!n) {
            flag = 0;
            break;
        }
    }
    return flag ==1 ? n : m;
}

int main(void)
{

    uint32_t m = 119,  n = 544;
    uint32_t ret;

    if (m < n)
        ret = gcd(n, m);
    else
        ret = gcd(m, n);

    printf("The gcd of %d and %d is: %d, cycles: %d\n", m, n, ret, cycles);

    return 0;
}

运行结果:

[root@localhost ch1]# make
gcc -Wall -O3 f.c -o f
[root@localhost ch1]# ./f 
The gcd of 119 and 544 is: 17, cycles: 2