条件概率

条件概率

1.  条件概率

定义：设A、B是两个事件，且P(A)>0，称

P(B｜A)=P(AB)/P(A)

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

容易验证，条件概率P(·｜A)符合概率定义中的三个条件，即（1）对每个事件B，都有P(B｜A)≥0.

（2）P(｜A)=1.

（3）对于可列无穷个两两互斥的事件B₁，B₂，┄，有

P((B₁∪B₂∪┄) ｜A)=P(B₁｜A)+P(B₂｜A)+…

所以条件概率也是概率，且它也具有概率的一些性质。例如，

P(B｜A)=1-P(｜A).

2.  概率的乘法公式

由条件概率公式P(B｜A)=P(AB)/P(A)可知，当P(A)>0时，有               P(AB)＝P(A) P(B｜A)

同理，当P(B)>0时，有

P(AB)＝P(B)P(A｜B)

怎么理解这个公式呢：

 

 

 

 

P(AB)，其中的AB即为AB两个空间相交的部分，这部分也可以视为在B空间上，A也出现了，其实这个公式P(AB)是以为样本空间的，但是P(A｜B)是以B为样本空间的，所以才有这个公式。

乘法公式可以推广到多个事件的情形。例如，设A、B、C为三个事件，且P(AB)>0，则有

P(ABC)=P(A)P(B｜A)P(C｜AB).

事实上，因为P(A)≥P(AB)＞0，所以

P(ABC)=P(A)= P(A)P(B｜A)P(C｜AB)

一般地，设A₁，A₂，…，A_n为n≥2个事件，且P(A₁A₂…A_n-1)＞0，则有

P(A₁A₂…A_n)=P(A₁)P(A₂｜A₁)P(A₃｜A₁A₂)…P(A_n｜A₁A₂…A_n-1)