欧几里得算法

定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。最大公约数（Greatest Common Divisor）缩写为GCD。

证法一：

a可以表示成a = kb + r (a，b，k，r皆为正整数，且r<b) ,则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。

而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数，因此d|r

因此d也是b,a mod b的公约数

假设d是b,a mod b的公约数, 则d|b,d|(a-k*b),k是一个整数。

进而d|a.因此d也是a,b的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

 

 

证法二：

假设c = gcd(a,b),则存在m,n，使a = mc, b = nc;

令r = a mod b，即存在k，使r = a-kb = mc - knc = (m-kn)c;

故gcd(b,a mod b) = gcd(b,r) = gcd(nc,(m-kn)c) = gcd(n,m-kn)c;

则c为b与a mod b的公约数;

假设d = gcd(n,m-kn), 则存在x,y, 使n = xd, m-kn = yd; 故m = yd+kn = yd+kxd = (y+kx)d;

故有a = mc = (y+kx)dc, b = nc = xdc; 可得 gcd(a,b) = gcd((y+kx)dc,xdc) = dc;

由于gcd(a,b) = c, 故d = 1;

即gcd(n,m-kn) = 1, 故可得gcd(b,a mod b) = c;

故得证gcd(a,b) = gcd(b,a mod b).

 Java代码实现

	public static long gcd(long m,long n) {
		while(n!=0) {
			long rem=m%n;
			m=n;
			n=rem;
		}
		return m;
	}