2017杭电多校联赛第二场-TrickGCD （hdu6053）莫比乌斯容斥

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/wang_heng199/article/details/76206985

本文解析了TrickGCD问题，介绍了如何使用莫比乌斯反演算法解决该问题，通过样例详细说明了解题思路，并给出了AC代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

TrickGCD

Time Limit: 5000/2500 MS (Java/Others) Memory Limit: 262144/262144 K (Java/Others)
Total Submission(s): 0 Accepted Submission(s): 0

Problem Description

You are given an array

A , and Zhu wants to know there are how many different array

B satisfy the following conditions?

*

1≤Bi≤Ai
* For each pair( l , r ) (

1≤l≤r≤n ) ,

gcd(bl,bl+1...br)≥2

Input

The first line is an integer T(

1≤T≤10 ) describe the number of test cases.

Each test case begins with an integer number n describe the size of array

A .

Then a line contains

n numbers describe each element of

A

You can assume that

1≤n,Ai≤105

Output

For the

k th test case , first output "Case #k: " , then output an integer as answer in a single line . because the answer may be large , so you are only need to output answer

mod

109+7

Sample Input

Sample Output

  
  
   
   Case #1: 17
  
  
  
  

  
  
  
  
   
   题目大意：求有多少组可能使得满足题目要求
  
  
  
  
   
   先来解释样例：比4不大的满足条件的有2,3,4，而如果要区间内有共同的最大公约数的话就是2,4，样例有4个
  
  
  
  
   
   4，所以每一个有2种可能，即有
   
   2*2*2*2=16种，然后还有一种3,3,3,3，最大公约数为3，所以有16+1=17
  
  
  
  
   
   （种）
   
   所以我们可以想到的是容斥原理，2的倍数的加上3的倍数的减去2*3的倍数的，同理，加上5的倍数的减
  
  
  
  
   
   去2*5的倍数的，减去3*5的倍数的，再
   
   加上2*3*5的倍数的，所以是莫比乌斯容斥，具体看代码详解：
  
  
  
  

  
  
  
  

  
  
  
  
   
   ac代码：
  
  
  
  
   
   #include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<string>
#define nl n<<1
#define nr (n<<1)|1
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const ll INFF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-9;
const ll mod=1e9+7;
ll mu[100005];
void mobius()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=1;i<=100000;i++)
        for(int j=i+i;j<=100000;j+=i)
            mu[j]-=mu[i];
}
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%mod;
        b>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return ans;
}
ll sum[200005];
ll cnt[200005];
int main()
{
    mobius();int ca=1;
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));int n;
        scanf("%d",&n);int maxx=INF;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int x;scanf("%d",&x);
            cnt[x]++;
            maxx=min(maxx,x);
        }
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=200000;i++)sum[i]=sum[i-1]+cnt[i];
        for(int i=2;i<=maxx;i++)
        {
            ll tmp=1;
            for(int j=1;j*i<=100000;j++)
            {
                tmp=(tmp*qpow((ll)j,sum[i*j+i-1]-sum[i*j-1]))%mod;
            }
            ans=(ans-tmp*mu[i]+mod)%mod;
        }
        printf("Case #%d: %lld\n",ca++,ans);
    }
    return 0;
}

   
   
    
    

   
   题目链接：
   
   点击打开链接http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6053