【线性代数系列】第五章相似矩阵及二次型第1节--向量的内积、长度、正交性

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分类专栏：线性代数文章标签：线性代数机器学习人工智能

于 2023-12-30 23:48:04 首次发布

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本文详细介绍了线性代数中向量的内积、长度和正交性的定义、性质以及示例，探讨了正交向量组的线性无关性、单位向量组和规范正交基，还涉及了施密特正交化过程和正交矩阵在正交变换中的应用。

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【线性代数系列】第五章相似矩阵及二次型第1节–向量的内积、长度、正交性

1. 定义

1.1 向量的内积（内积、点积或数量积）：

给定两个向量a和b，它们的内积表示为a·b（也可以用a*b表示），定义为两个向量对应分量的乘积之和。数学上可以表示为a·b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn。

1.2 向量的长度（模长或范数）：

向量的长度是指该向量从原点到终点的距离。根据欧几里得空间中的定义，一个向量a的长度（模长）可以通过计算其每个分量的平方和再开平方根来获得。数学上可以表示为||a|| = √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)。

1.3 向量的正交性：

两个向量a和b被称为正交向量，如果它们的内积等于零，即a·b = 0。这意味着两个向量之间的夹角为90度，它们在空间中相互垂直。

2. 示例：

2.1 内积示例：

假设有两个向量a = [1, 2, 3]和b = [4, 5, 6]，它们的内积可以通过将对应分量相乘并求和来计算：
a·b = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32

2.2 长度示例：

假设有一个向量v = [3, 4]，它的长度可以通过计算每个分量的平方和再开平方根来获得：
||v|| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

2.3 正交性示例：

假设有两个向量u = [1, 2]和v = [-2, 1]，它们的内积为：u·v = 1*(-2) + 2*1 = -2 + 2 = 0
因此，向量u和v是正交的，它们在空间中相互垂直。

3. 性质

3.1 内积性质：

3.1.1 对称性：对于任意向量a和b，有a·b = b·a。内积的结果与向量的顺序无关。

3.1.2 线性性：对于任意向量a、b和c，以及标量k，有以下性质：

(ka)·b = k(a·b)：将一个向量乘以标量k，再与另一个向量b进行内积，等于将这个标量乘以向量a与向量b的内积。
(a + b)·c = a·c + b·c：两个向量a和b的和与向量c进行内积，等于将向量a与向量c的内积加上向量b与向量c的内积。

3.1.3 非负性：对于任意非零向量a，有a·a ≥ 0，且当且仅当a为零向量时，a·a = 0。内积的结果是非负的，除非两个向量正交（即内积为零）。

3.1.4 Cauchy-Schwarz不等式：对于任意向量a和b，有|a·b| ≤ ||a|| * ||b||，其中||a||和||b||分别表示向量a和b的长度（模长）。内积的绝对值不超过两个向量长度的乘积。

3.2 向量长度性质：

3.2.1 非负性：对于任意向量a，它的长度满足 ||a|| ≥ 0，即向量的长度始终为非负数。

3.2.2 零向量的长度：对于零向量0，它的长度为 ||0|| = 0。零向量是唯一一个长度为零的向量。

3.2.3 正定性：对于非零向量a，它的长度满足 ||a|| > 0，即非零向量的长度大于零。

3.2.4 标量倍乘：对于任意向量a和标量k，它们的长度满足 ||ka|| = |k| * ||a||。即将向量的长度与标量的绝对值相乘得到新的长度。

3.2.5 三角不等式：对于任意向量a和b，它们的长度满足 ||a + b|| ≤ ||a|| + ||b||。即两个向量长度之和不小于它们的和向量的长度。

4.正交向量组

正交向量组是指由多个向量组成的集合，其中任意两个向量都是正交的（内积为零）。

二维平面上的正交向量组示意图

   |y
   |  v2
   |     
   |     
   |   
   |   
   |     
   |     
   |      
   --------------------->  x
                v1

在这个示意图中，v1和v2是正交向量，它们相互垂直。v1表示x轴方向上的单位向量，v2表示y轴方向上的单位向量。

三维正交向量组示意图

       | z
       |        /y
       | v3    /
       |      / v2
       |     / 
       |    /
       |   /
       |  /   
       | /    
       |/      
-------+-----------------> x  
                    v1

在这个示意图中，v1、v2和v3是一个三维空间中的正交向量组。v1表示x轴方向上的单位向量，v2表示y轴方向上的单位向量，v3表示z轴方向上的单位向量。

这个示意图展示了正交向量组的特点，即两个向量相互垂直，它们在空间中形成一个直角。正交向量组可以用于描述坐标系、几何关系和计算等多个领域中。

正交向量组具有以下性质：

4.1 线性无关性：

正交向量组中的向量是线性无关的。这意味着不能通过对其中的向量进行线性组合得到零向量，除非所有系数都为零。

4.2 单位向量组：

通过将正交向量组中的每个向量除以其长度，可以得到一个单位向量组。单位向量组的长度都为1，它们在表示方向和相对大小时非常方便。

4.3 规范正交基

规范正交基的前世可以追溯到线性代数的早期发展，特别是在矩阵理论和向量空间的研究中。

在19世纪初，欧几里得空间的概念开始形成，其中向量被认为是有大小和方向的实体。随后，数学家们开始探索如何描述和表示向量，并研究它们之间的关系。

最早的一些研究集中在二维和三维空间中的向量上，这些向量可以用坐标表示。随着研究的深入，数学家们开始考虑更一般的n维向量空间，并寻找一组基向量来表示该空间中的任意向量。

在这个过程中，正交向量组的概念逐渐引入。正交向量组是指由互相垂直（内积为零）的向量组成的集合。这种向量组具有许多优良的性质，例如线性无关性和易于计算等。

随着进一步研究，数学家们开始思考如何构造一组单位向量，即长度为1的向量，从而得到一个规范正交基。规范正交基可以方便地表示向量，并且在计算中更容易处理。

施密特正交化过程的引入进一步加强了对规范正交基的研究。该过程可以将任意向量组转化为正交向量组，并通过归一化操作得到单位向量。

如今，规范正交基已成为线性代数的重要概念，在数学、物理、工程等领域中被广泛应用。它们在表示和分析向量、解决线性方程组、傅里叶分析、信号处理以及计算机图形学等问题中发挥着关键作用。

4.4如何正交化

施密特正交化过程：任意向量组都可以通过施密特正交化过程转化为正交向量组。该过程是一种逐步构建正交向量组的方法，通过将每个向量减去它在之前向量张成的子空间上的投影来获得正交向量。

4.5 正交矩阵：

正交向量组中的向量可以组合成一个正交矩阵，该矩阵的转置乘以自身等于单位矩阵。正交矩阵的列向量构成一个正交向量组，它们在线性变换中保持长度和角度不变。

4.5.1正交变换

正交变换是指保持向量长度和夹角的线性变换。在数学中，正交变换通常通过一个正交矩阵来表示。

对于一个n维向量空间中的向量x，经过一个正交变换T后得到的向量y可以表示为：

y = T * x

其中，T是一个n×n的正交矩阵，满足 T^T * T = I，即其转置矩阵与自身的乘积等于单位矩阵。

4.5.2正交变换性质

正交变换具有以下性质：

长度保持性：正交变换不改变向量的长度，即 ||y|| = ||x||。
夹角保持性：正交变换不改变向量之间的夹角，即 x·z = y·z，其中 z 是另一个向量。
正交矩阵的逆等于其转置：对于一个正交矩阵 T，有 T^(-1) = T^T。

常见的正交变换包括旋转、镜像和投影。在计算机图形学、信号处理和物理学等领域中，正交变换被广泛应用于几何变换、傅里叶分析、数据压缩等方面。

一些常见的正交变换包括欧拉旋转、仿射变换、傅里叶变换和正交投影等。这些变换在处理数据、图像和信号时，能够保持它们的重要性质，如形状、结构和频谱信息。

正交向量组在许多数学和应用领域中起着重要作用，例如线性代数、傅里叶分析、信号处理和计算机图形学等。它们具有简化计算、描述几何关系以及解决优化问题等方面的优势。