找出所有子集的异或总和再求和

给定数组 nums,计算所有子集的异或总和并求和。例如,数组 [1,3] 的子集异或总和之和为 6,数组 [5,1,6] 的子集异或总和之和为 28。" 131099383,18873772,Python高效计算:利用pow函数和Decimal库开三次方,"['Python', '数学计算', '科学计算', '数据处理']

一个数组的异或总和定义为数组中所有元素按位 XOR 的结果;如果数组为空,则异或总和为0 。
例如,数组 [2,5,6] 的 异或总和 为 2 XOR 5 XOR 6 = 1 。
给你一个数组 nums ,请你求出 nums 中每个 子集 的 异或总和 ,计算并返回这些值相加之 和 。
注意:在本题中,元素 相同 的不同子集应 多次 计数。
数组 a 是数组 b 的一个 子集 的前提条件是:从 b 删除几个(也可能不删除)元素能够得到 a 。

示例 1:
输入:nums = [1,3]
输出:6
解释:[1,3] 共有 4 个子集:

  • 空子集的异或总和是 0 。
  • [1] 的异或总和为 1 。
  • [3] 的异或总和为 3 。
  • [1,3] 的异或总和为 1 XOR 3 = 2 。
    0 + 1 + 3 + 2 = 6
    示例 2:
    输入:nums = [5,1,6]
    输出:28
    解释:[5,1,6] 共有 8 个子集:
  • 空子集的异或总和是 0 。
  • [5] 的异或总和为 5 。
  • [1] 的异或总和为 1 。
  • [6] 的异或总和为 6 。
  • [5,1] 的异或总和为 5 XOR 1 = 4 。
  • [5,6] 的异或总和为 5 XOR 6 = 3 。
  • [1,6] 的异或总和为 1 XOR 6 = 7 。
  • [5,1,6] 的异或总和为 5 XOR 1 XOR 6 = 2 。
    0 + 5 + 1 + 6 + 4 + 3 + 7 + 2 = 28
    示例 3:
    输入:nums = [3,4,5,6,7,8]
    输出:480
    解释:每个子集的全部异或总和值之和为 480 。

提示:
1 <= nums.length <= 12
1 <= nums[i] <= 20

class Solution{
public:
	vector<vector<int>> s;
	
	void isSubset(vector<int>& nums,vector<int>& path,int pos){//计算出所有子集
		s.puch_back(path);
		for(int i=pos;i<nums.size();i++){
			path.push_back(nums[i]);
			isSubset(nums,path,i+1);
			path.pop_back();
		}
	}
	int subsetXORSum(vector<int>& nums) {
		int sum=0;
		vector<int> path;
		isSubset(nums,path,0);
		for(int i=0;i<s.size();i++){
			int a=0;
			for(int j=0;j<s[i].size();j++){
				a=a^s[i][j];//计算每个子集的异或和
			}
			sum+=a;//计算子集之间的异或和的总和
		}
		return sum;
	}
}; 

### 异或求和算法实现 异或求和问题的核心是通过位运算的性质,优化对所有子集异或进行计算。以下是基于提供的引用内容以及相关知识的完整解析与实现。 #### 算法思想 1. **异或性质**: - 异或操作具有交换律结合律。 - 两个相同的数异或结果为0,任何数与0异或结果为其本身。 2. **位统计方法**: - 对于每个二进制位,统计数组中该位上1的数量`b[i]`。 - 根据组合数学原理,任意两个数的异或结果中,该位为1的情况总数为`b[i] * (n - b[i])`[^1]。 3. **总和计算**: - 将每一位的结果乘以对应的权重(即`2^i`),并累加得到最终答案。 #### 实现代码 以下是一个基于C++的高效实现: ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; vector<long long> b(32, 0); // 统计每个二进制位上的1的个数 for (int i = 0; i < n; ++i) { long long a; cin >> a; for (int j = 0; j < 32; ++j) { if ((a >> j) & 1) { b[j]++; } } } long long sum = 0; for (int i = 0; i < 32; ++i) { sum += (1LL << i) * b[i] * (n - b[i]); // 计算每一位的贡献 } cout << sum << endl; return 0; } ``` #### 算法解释 - **输入处理**:读取`n`个整数,并统计每个二进制位上1的数量。 - **位运算**:对于每个数字,逐位检查是否为1,并更新对应位的计数器。 - **结果计算**:根据公式`sum += (1 << i) * b[i] * (n - b[i])`计算每一位的贡献[^1]。 - **输出结果**:将所有位的贡献累加后输出。 #### 时间复杂度分析 - **时间复杂度**:O(n * log(max_value)),其中`log(max_value)`为最大值的二进制位数。 - **空间复杂度**:O(log(max_value)),用于存储每个二进制位的计数。 ---
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