BZOJ 1008 - 越狱(排列组合+快速幂)

最新推荐文章于 2020-10-19 22:12:00 发布

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本文解析了HNOI2008越狱问题，介绍了如何通过计算总状态数减去不能越狱的状态数来得出可能越狱的状态数。使用快速幂算法进行高效计算，并提供了具体的代码实现。

1008: [HNOI2008]越狱

Description

　　监狱有连续编号为1...N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果
相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

Input

　　输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

Output

　　可能越狱的状态数，模100003取余

Sample Input

2 3

Sample Output

HINT

　　6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

解题思路：

能够越狱的状态数 = 总的状态数 - 不能越狱的状态数。

即越狱的状态数=m^n - m*(m-1)^(n-1)，再用快速幂计算就行了。

快速幂：

快速幂算法依赖于以下明显的公式：
这里写图片描述

a^b%c,先把b化成二进制形式，然后所有非0的位置(k0,k1,……kw)。

$3^{11}=3^{1011}=3^{1000}\times3^{000}\times3^{10}\times3^1$

快速幂代码：

int Powermod(int a,int b)
{
	int ans=1;
	a=a%c;
	while(b>0)
	{
		if(b%2==1)
			ans=(ans*a)%c;
		b=b/2;
		a=(a*a)%c;
	}
	return ans;
}

代码：

#include<stdio.h>
#define c 100003
long long n,m;
long long powermod(long long a,long long b)
{
	long long ans=1;
	a%=c;
	while(b>0)
	{
		if(b%2==1)
			ans=(ans*a)%c;
		b/=2;
		a=(a*a)%c;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	long long a,b,ans;
	while(scanf("%lld%lld",&m,&n)!=EOF)
	{
		ans=0;
		a=powermod(m,n);
		b=m*powermod(m-1,n-1)%c;
		ans=a-b;
		if(ans<0)
			ans+=c;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}