模板：离散数学

最新推荐文章于 2020-11-10 19:09:44 发布

wu-kan

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这篇博客深入探讨了离散数学中的几个关键概念，包括使用归并排序计算逆序对的方法，快速解决约瑟夫问题的策略，以及曼哈顿距离的变换规则。此外，还介绍了皮克定理和蔡勒公式的应用，它们分别在计算简单多边形面积和确定日期方面发挥作用。

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离散数学

归并排序求逆序对

ll merge_sort(ll *b,ll *e)//int存答案可能会爆
{
    if(e-b<2)return 0;
    ll i=0,j=0,*m=b+(e-b)/2,ans=merge_sort(b,m)+merge_sort(m,e);
    vector<ll> l(b,m),r(m,e);
    while(i<l.size()&&j<r.size())
    {
        if(r[j]<l[i])*(b++)=r[j++],ans+=l.size()-i;
        else *(b++)=l[i++];
    }
    while(i<l.size())*(b++)=l[i++];
    while(j<r.size())*(b++)=r[j++];
    return ans;
}

快速解约瑟夫

ll josephus(ll n,ll k)//编号0~n-1，每k个出列，时间复杂度O(min(n,k))
{
    if(n<3)return k%n;
    if(n<k)return (Josephus(n-1,k)+k)%n;
    ll ret=Josephus(n-n/k,k)-n%k;
    return ret<0?ret+n:ret+ret/(k-1);
}

曼哈顿距离的变换

$|x1 −x2|+|y1 −y2| = max(|(x1 + y1)−(x2 + y2)|,|(x1 −y1)−(x2 −y2)|)$

皮克定理

顶点坐标均是整点（或说正方形格点）的简单多边形中，面积S和内部格点数目n、边上格点数目m的满足关系 $S=n+\frac{m}{2}-1$ 。

蔡勒公式

$w=(\lfloor\frac{c}{4}\rfloor-2c+y+\lfloor\frac{y}{4}\rfloor+\lfloor\frac{13(m+1)}{5}\rfloor+d-1)\mod7$
w： $0,1,\ldots,6$ 对应周日，周一， $\ldots$ ，周六
c：世纪减1（即年份前两位数）。
y：年份后两位数。
m：月（ $3\leq m\leq14$ ，即在蔡勒公式中，1、2月要看作上一年的13、14 月来计算）。
d：日。