AcWING 90. 64位整数乘法

本文介绍了一种使用快速幂算法解决大数乘法模运算问题的方法,通过将乘法转换为二进制形式进行高效计算。特别适用于数据范围在1≤a,b,p≤10^18的情况。

题目
求 a乘 b对 p取模的值。
输入格式
第一行输入整数a,第二行输入整数b,第三行输入整数p。
输出格式
输出一个整数,表示a*b mod p的值。
数据范围
1≤a,b,p≤10^18
输入样例:
3
4
5
输出样例:
2

这个题也需要快速幂

a乘b就是b个a相加,把b转换成二进制的形式再进行解题(代码中不用呈现,计算机本身就是二进制存储)

举几个例子 (a统统等于3)
b=4 二进制形式为 100 a×b=3×0+3×0+3×2^2
b=5 二进制形式为 101 a×b=3×2^0 +3×0+3×2^2
b=7 二进制形式为 111 a×b=3×2^0 +3×2^1 +3×2^2=3+6+12 (6=3×2,12=6×2)

#include <stdio.h>
int main()
{
	long long a,b,p,c=0;
	scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&p);
	while(b)
	{
		if(b&1) c=(c+a)%p;
		b/=2;
		a=a*2%p;
	}
	printf("%lld\n",c);
	return 0;
}
### 问题分析 Acwing 4925. 干衣机 是一道典型的二分答案题目,主要涉及对时间的优化判断。题意大致如下: - 给定一个洗衣机,它在每单时间可以处理一件衣服。 - 每件衣服有一个初始湿度。 - 在每一单时间中,可以选择一件衣服将其放入洗衣机中脱水(湿度减少1),其余衣服的湿度也会自然减少1(但不能低于0)。 - 要计算将所有衣服的湿度降到0所需的最短时间。 为了解决这个问题,需要结合贪心策略与二分查找技术来优化时间复杂度。 ### 解题思路 #### 1. 二分查找时间范围 由于目标是找到“最短时间”,可以采用二分法来尝试不同的时间 `t`,并验证是否可以在该时间内完成任务。 - 最小时间为 `max(a)`(即所有衣服中最高峰,若不考虑其他衣服自然干燥的情况) - 最大时间上限可以设定为最大湿度加上衣服总数的影响。 #### 2. 验证函数设计 对于给定的时间 `t`,我们需要判断是否能在此时间内使所有衣服湿度归零。 具体来说: - 对于某件衣服湿度 `a[i]`,如果 `a[i] > t`,则必须至少手动操作 `a[i] - t` 次才能让其湿度降为0。 - 所有这些操作次数之和应小于等于 `t`,因为每单时间只能操作一次。 #### 3. 实现代码 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; bool check(const vector<int>& a, int t) { long long need = 0; for (int x : a) { if (x > t) { need += x - t; } } return need <= t; } int main() { int n; cin >> n; vector<int> a(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> a[i]; } int left = 0, right = 1e9; while (left < right) { int mid = (left + right) / 2; if (check(a, mid)) { right = mid; } else { left = mid + 1; } } cout << left << endl; return 0; } ``` ### 复杂度分析 - 时间复杂度:`O(n log M)`,其中 `n` 是衣服数量,`M` 是最大可能时间上限(约 `1e9`)。 - 空间复杂度:`O(1)`,仅使用常数额外空间。 ### 总结 本题通过二分法快速逼近最优解,并在每次判断中使用线性扫描验证可行性,是一种高效且常见的算法组合应用。 ---
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