Ray, Pass me the dishes! UVALive - 3938 线段树

最新推荐文章于 2020-08-04 16:01:01 发布

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#ACM #线段树 #算法

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线段树

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本文介绍了解决RMQ问题的一种方法，使用线段树维护区间内的最大子段和及其位置。通过分治思想，文章详细解释了如何在每个节点维护最大前缀、最大后缀和最大子段的值，并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这题淘米居然要用long long!!!

心态有点崩。。。。

题目还是比较简单（我呸）

题目大意

大意是给定长度为n的区间进行m次询问，每次询问形式为[a,b]，给出这个区间内【相加之和最大】的子段的起点和终点，若多解，则输出x小，若仍多解，则输出y小。

思路分析

基本思路分治法，《算法竞赛入门经典-训练指南》P201有思路（如果我讲不清楚麻烦自行翻书）

RMQ问题很多都要用线段树来解决，然而这题乍一看不能用线段树来维护，因为父节点的值不能通过简单合并两个子结点的值来获得

但是实际上，我们可以对每个节点维护3个值：

最大前缀，最大后缀，最大子段

什么意思呢？线段树的每个节点都会对应到一个区间上，假设这个区间为[l,r]，那么最大前缀即为使 $a_l + a_{l+1} + ... + a_x$ 最大的x，最大后缀即为使 $a_x + a_{x+1} + ... + a_r$ 最大的x，最大子段即为使 $a_x + a_{x+1} + ... + a_y$ 最大的x和y

考虑如何维护这三个值

维护前缀

当维护父节点的前缀时，由于起点已知，故我们讨论终点。终点只可能在左子结点中，或者在右子结点中

若终点在左子结点中，那么父节点的前缀等于左子结点的前缀，因为左子结点的前缀是终点在左子结点中最大的那个。

若终点在右子结点中，则父节点的前缀等于左子结点的区间和，再加上右子结点的最大前缀，其终点为右子结点最大前缀的终点。因为终点在右子结点时，可以看成是所有右子结点的前缀同时加上左子结点的区间和，原来右子结点的最大前缀仍然是最大的。

（我可能没讲清楚但是我觉得自己想也很容易明白吧）

维护后缀

这个思路和维护前缀相似，由于终点已知，所以我们讨论起点。这里要注意题目要求的是使x尽量小，所以我们应当先讨论起点在左子结点中，再讨论起点在右子结点中

当起点在左子结点中时，父节点的后缀等于左子结点的最大后缀，再加上右子结点的区间和，其起点为左子结点的最大后缀的起点

当起点在右子结点中是，父节点的后缀等于右子结点的后缀

维护子段

由于子段的起点和终点都不确定，所以这里我们采取分治的思想讨论。有3种情况：子段完全在左子结点中，子段完全在右子结点中，子段部分在左子结点中，部分在右子结点中。

当子段完全在左子结点（或右子结点）中时，最大的子段等于左子结点（或右子结点）的最大子段。

当子段跨越两个子结点时，最大子段恰好为左子结点的最大后缀，再加上右子结点的最大前缀。

这题要用long long

大概是我做的太少对数字还不够敏感，虽然int能装1e9，但是int最多也就能装2*1e9多一点，但是这里要求的是区间和，也就是说最坏情况下，区间长度为3就足够炸int了，所以显然是不能用int的。。

看博客开篇我深深的怨念。。。。你猜我debug多少次才发现这个东西。。。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define maxn 524290
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long long LL;
typedef struct {
    bool useful;//标记结点是否有效 
    ll sum;
    ll maxSub, maxPre, maxSuf;//最大子段，最大前缀，最大后缀
    int maxSubBegin, maxSubEnd, maxPreEnd, maxSufBegin;//最大子段起止点，最大前缀终点，最大后缀起点
} Node;
int n;//线段树结点个数
Node dat[2*maxn];//线段树结点
//void PrintNode(Node node) {//调试用 
//  cout<<endl;
//  cout<<"useful="<<node.useful<<",sum="<<node.sum<<endl;
//  cout<<"maxSub="<<node.maxSub<<",maxSubBegin="<<node.maxSubBegin<<",maxSubEnd="<<node.maxSubEnd<<endl;
//  cout<<"maxPre="<<node.maxPre<<",maxPreEnd="<<node.maxPreEnd<<endl;
//  cout<<"maxSuf="<<node.maxSuf<<",maxSufBegin="<<node.maxSufBegin<<endl;
//  cout<<endl;
//}
void init(int n_) {
    n = 1;
    while(n < n_) n <<= 1;
    for(int i = 0; i < 2*n-1; i++) dat[i].useful = false;//初始化为无效结点 
}
Node unite(Node x, Node y) {//将x和y视为相邻的两个结点(x左y右)合并，返回新节点 
    if(!x.useful) return y;
    if(!y.useful) return x;
    Node node; node.useful = true;
//更新区间和
    node.sum = x.sum + y.sum;
//更新最大子段，为了保证x小y小，从小的开始更新 
    //取子段较大的儿子的最大子段
    //开始取左儿子 
    node.maxSub = x.maxSub;
    node.maxSubBegin = x.maxSubBegin;
    node.maxSubEnd = x.maxSubEnd;

    //若中间交叉子段更大，则更新为中间交叉子段相应的值 
    if(x.maxSuf + y.maxPre > node.maxSub) {
        node.maxSub = x.maxSuf + y.maxPre;
        node.maxSubBegin = x.maxSufBegin;
        node.maxSubEnd = y.maxPreEnd;
    }

    if(y.maxSub > node.maxSub) {//右儿子较大 
        node.maxSub = y.maxSub;
        node.maxSubBegin = y.maxSubBegin;
        node.maxSubEnd = y.maxSubEnd;
    }
//更新最大前缀
    //先取左结点的最大前缀（使y小），如果最大前缀不跨越两个区间，那么这个就是最终前缀 
    node.maxPre = x.maxPre;
    node.maxPreEnd = x.maxPreEnd;

    //如果最大前缀跨越两个区间，更新node 
    if(x.sum + y.maxPre > node.maxPre) {
        node.maxPre = x.sum + y.maxPre;
        node.maxPreEnd = y.maxPreEnd;
    }
//更新最大后缀
    //先取跨越两个区间的最大后缀（使x小） 
    node.maxSuf = x.maxSuf + y.sum;
    node.maxSufBegin = x.maxSufBegin;

    //如果最大后缀在右结点，更新node 
    if(y.maxSuf > node.maxSuf) {
        node.maxSuf = y.maxSuf;
        node.maxSufBegin = y.maxSufBegin;
    }
    return node;
} 
void update(int k, Node aa) {
    k += n-1;
    dat[k] = aa;
    while(k > 0) {
        k = (k-1)>>1;
        dat[k] = unite(dat[2*k+1], dat[2*k+2]);
    }
}
Node query(int a, int b, int k, int l, int r) {
    if(r <= a || b <= l) {
        Node node; node.useful = false;
        return node;//区间不相交 
    }
    if(a <= l && r <= b) return dat[k];//区间完全包含 
    Node vl = query(a, b, 2*k+1, l, (l+r)>>1);//区间相交 
    Node vr = query(a, b, 2*k+2, (l+r)>>1, r);
//  cout<<"query("<<a<<","<<b<<","<<k<<","<<l<<","<<r<<")"<<endl;
//  PrintNode(vl); PrintNode(vr);
    return unite(vl, vr);
}
int main() {
    int N, m, Case = 0;
    while(cin>>N>>m) {
        init(N);//线段树初始化 
        for(int i = 0; i < N; i++) {
            Node node; node.useful = true;
            LL a; cin>>a;
            node.sum = node.maxPre = node.maxSub = node.maxSuf = a;//构建第i个结点 
            node.maxPreEnd = node.maxSubBegin = node.maxSubEnd = node.maxSufBegin = i+1;
            update(i, node);//将第i个结点加入线段树 
        }

//      for(int i = 0; i < 2*n-1; i++) PrintNode(dat[i]);

        cout<<"Case "<<++Case<<":"<<endl;
        while(m--) {//处理m次询问 
            int l, r; cin>>l>>r;
            Node node = query(l-1, r, 0, 0, n);//取得区间对应的结点信息 
//          PrintNode(node);
            int x, y;
            x = l; y = node.maxPreEnd;
            if(node.maxSub > node.maxPre) {
                x = node.maxSubBegin;
                y = node.maxSubEnd;
            }
            if(node.maxSuf > node.maxPre && node.maxSuf > node.maxSub) {
                x = node.maxSufBegin;
                y = r;
            }
            cout<<x<<" "<<y<<endl;
        }
    }
    return 0;
}