动态规划 - 背包

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01背包

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情况

有N件物品和一个容量为V的背包， 每种物品均只有一件 。第 i 件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。

利用数组f[N]表示背包容量为N时，背包中的总价值。

for(int i = 1; i <= n; i++)//n为物品数量，v是背包容量上限
{
	for(int j = v; j >= c[i]; j--)
	{//此处用逆序，防止当v>=c[i]时，会在f[x](x>=2*c[i])时计算取两件该物品的情况)
	f[j] = max(f[j], f[j-c[i]] + w[i]);
	}
}

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完全背包

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情况

有N件物品和一个容量为V的背包， 每种物品均有无限件 。

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
	for(int j = c[i]; j <= v; j++)
	{//此处用顺序，因物品有无限个，可包含多取情况
			f[j] = max(f[j], f[j-c[i]]+w[i]);
	}
}

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多重背包

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情况

有N件物品和一个容量为V的背包， 每种物品均有n[i]件 。

for(int i = 1; i <= N; i++)
{
	for(int k = 1; k <= n[i]; k++)
	{//通过循环k次，达到判断装 0~k 个该物品情况
		for(int j = c[i]; j <= v; j++)
		{//这里用逆序，防止变成无限个计算
			f[j] = max(f[j], f[j-c[i]]+w[i]);
		}
	}
}

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二进制优化(二进制分解)

原理
例如：7的二进制为 111，可分解为 001 010 100 三个数，即 1 2 4。这三个数可以组合为 1 ~ 7 内所有数。基于该思想将 多件物品 转化为 多种一件物品。

	cin >> s >> ci >> wi;//s 数量，ci单件物品费用，vi单件物品价值
	for(int k = 1; k <= s; k++)
	{
		c[cnt] = k*ci;
		w[cnt++] = k*wi;
		s -= k;
	}
	if(s>0)
	{
		c[cnt] = s*ci;
		w[cnt++] = s*wi;
	}

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HDU2191

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代码

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 505; // 比题目给出n的范围大，
                   //因为将多件物品转化为了多种物品

int n, m;
int c[N], w[N], f[N];

int main( )
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while( t-- )
    {
        memset(f, 0, sizeof(f));
        scanf("%d%d",&m,&n);
        int ci, wi, s, cnt = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&ci,&wi,&s);
            for(int k = 1; k <= s; k <<= 1)
            {
                c[++cnt] = k*ci;
                w[cnt] = k*wi;
                s -= k;
            }
            if( s>0 )
            {
                c[++cnt] = s*ci;
                w[cnt] = s*wi;
            }
        }
        
        for(int i = 1; i <= cnt; i++)
        {
            for(int j = m; j >= c[i]; j--)
            {
                f[j] = max(f[j], f[j-c[i]]+w[i]);
            }
        }
        
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i <= m; i++) ans = max(ans, f[i]);
        printf("%d\n",ans);
    }
    
    return 0;
}