整数二进制展开中数位1的总数

最新推荐文章于 2024-02-28 16:40:09 发布
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分类专栏： 数据结构 文章标签： 数据结构 邓俊辉 整数二进制展开 1的个数 习题解析
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/vvv521/article/details/81323371
这篇博客介绍了邓俊辉老师书中的两种算法，用于计算整数二进制展开中1的个数。第一种算法通过移位操作消除最低位的1，复杂度为O(1的个数)。第二种算法利用特定的MASK数进行计算，复杂度为O(log log n)，展示了对二进制位操作的巧妙运用。

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整数二进制展开中数位1的总数

前言

目前在，额，怎么说呢，回炉重造数据结构，今天在邓俊辉老师的书上看到了一个很有意思的算法，第一遍没看明白，后面仔细想了一下才搞明白什么意思，觉得很有趣，记录一下。
这个算法如题所言，统计整数二进制展开中数位1的总数
，网上常见的算法是通过将数n二进制展开中的最低位1转置0来统计，此算法本文也会介绍(说是介绍其实是抄书啦)，然邓老师书上又介绍了一个更有趣的算法，这个会介绍本人的见解。

设输入一个数n，位宽W=log n.

1.第一种算法

先上代码

0001 int countOnes1 ( unsigned int n ) { //统计整数二进制展开中数位1的总数：O(ones)正比于数位1的总数
0002    int ones = 0; //计数器复位
0003    while ( 0 < n ) { //在n缩减至0之前，反复地
0004       ones++; //计数（至少有一位为1）
0005       n &= n - 1; //清除当前最靠右的1
0006    }
0007    return ones; //返回计数
0008 } //等效于glibc的内置函数int __builtin_popcount (unsigned int n)
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"奇数" : "偶数"); return 0; } ``` 但是，我们也可以不用额外的无符号转换，因为消除最低位1的方法对于有符号整数在补码表示下也是正确的？因为负数在补码表示下，按位与操作和正数一样。但是，在C语言中，对有符号整数使用位操作是依赖于实现的。为了可移植性，我们使用无符号整数。 另外，我们也可以使用另一种方法：移位操作，然后计数。但消除最低位1的方法效率更高（循环次数等于1的个数）。 但是，如果我们需要同时返回1的个数和奇偶性，那么上面的函数可以满足。 不过，题目要求是“编写一个函数”，我们写了一个函数，它同时完成了两个任务：计算1的个数和判断奇偶性。 另外，我们也可以写一个函数只返回奇偶性（不返回1的个数），另一个函数返回1的个数。但题目要求同时完成，所以我们用上面的方式。 如果题目要求只用一个函数且不通过指针返回，那么我们可以只返回奇偶性，而1的个数可以通过全局变量或静态变量，但这样不好。所以用指针参数返回1的个数是合理的。 因此，我们提供上述函数。 但是，还有一种更直接的方法判断奇偶性而不需要计算1的个数：使用异或操作。我们可以用一个变量，初始为0，每遇到一个1就异或1。这样最后的结果就是奇偶性（0表示偶数个1，1表示奇数个1）。但是，我们同时需要1的个数，所以这种方法虽然可以同时得到奇偶性，但无法得到个数，除非我们同时计数。 所以，我们还是采用先计算个数再判断奇偶性的方法。 另外，引用[1]提到了奇偶校验码，实际上我们这里计算的奇偶性就是奇偶校验位（但注意，引用[1]中的奇偶校验位是在数据末尾添加一位，使得整个数据中1的个数为偶数（偶校验）或奇数（奇校验）。我们这里计算的是原始数据中1的个数的奇偶性，相当于奇校验的校验位（如果原始数据1的个数为奇数，则校验位为0？但这里我们只是计算奇偶性，并不添加）。 不过，我们这里不需要添加校验位，只需要判断1的个数的奇偶性。 因此，上述函数已经满足要求。 测试： 输入0：0个1，偶数 -> 返回0 输入1：1个1，奇数 -> 返回1 输入3（二进制11）：2个1，偶数 -> 返回0 注意：我们处理的是整数的二进制表示，包括负数。由于我们转换为无符号整数，所以负数的二进制表示（补码）也会被正确计算。 例如：-1在补码中表示为全1（32位机器上为0xFFFFFFFF），那么1的个数为32，是偶数，所以返回0。 但是，在32位系统中，int通常是32位，所以-1的二进制有32个1，32是偶数。 因此，我们的函数可以正确处理负数。 但是，我们使用的是无符号整数转换，而负数转换为无符号整数是直接按位解释，所以没有问题。 所以，我们完成了函数。 另外，我们也可以提供另一种版本，只返回奇偶性而不需要返回1的个数： ```c int parity_of_ones(int num) { unsigned int u_num = (unsigned int)num; int count_val = 0; while (u_num) { count_val++; u_num &= (u_num - 1); } return count_val & 1; } ``` 或者，使用异或操作的方法（不计数，只计算奇偶性）： ```c int parity_of_ones_xor(int num) { unsigned int u_num = (unsigned int)num; int parity = 0; while (u_num) { parity ^= 1; // 每遇到一个1就翻转一次奇偶性 u_num &= (u_num - 1); // 消除最低位的1 } return parity; } ``` 但是，这种方法也是要遍历每一个1，效率相同。 现在，我们根据题目要求，编写一个函数同时得到个数和奇偶性，我们使用第一种方法。 因此，我们提供以下完整代码示例： 注意：用户可能需要一个函数同时得到两个值，所以我们用指针参数。 如果用户不需要1的个数，只需要奇偶性，那么可以只调用返回奇偶性的函数。 但是，题目要求是“计算二进制数1的个数，并判断奇偶性”，所以两个都需要。 因此，我们提供两个函数： 一个函数用于计算1的个数（count_ones） 一个函数用于判断奇偶性（is_odd）或者直接使用上面的count_ones_and_parity 为了灵活，我们可以这样： 方案1：两个独立函数 ```c // 计算1的个数 int count_ones(int num) { unsigned int u_num = (unsigned int)num; int count = 0; while (u_num) { count++; u_num &= (u_num - 1); } return count; } // 判断一个整数的奇偶性（0表示偶数，1表示奇数） int is_odd(int num) { return num & 1; } // 然后，在主函数中： // int ones = count_ones(num); // int parity = is_odd(ones); ``` 方案2：一个函数同时返回两个值（通过指针） 我们之前已经写了count_ones_and_parity。 现在，我们按照方案2写一个函数，因为题目要求一个函数。 所以，我们提供count_ones_and_parity函数。 但是，题目没有明确说是否允许使用指针，所以我们假设允许。 因此，我们最终提供以下函数： ```c // 函数功能：计算一个整数二进制表示中1的个数，并返回1的个数的奇偶性（1表示奇数个，0表示偶数个），同时通过指针参数返回1的个数。 int count_ones_and_parity(int num, int *ones_count) { unsigned int u_num = (unsigned int)num; int count = 0; unsigned int temp = u_num; while (temp) { count++; temp &= (temp - 1); } *ones_count = count; return count & 1; } ``` 使用示例见前面的main函数。 注意：如果用户不需要1的个数，可以传入NULL指针，但我们这里不检查NULL，因为题目要求两个都要，所以调用者必须传入一个有效的指针。 为了健壮性，我们可以检查ones_count是否为NULL，如果是NULL，则跳过赋值，只返回奇偶性。 修改如下： ```c int count_ones_and_parity(int num, int *ones_count) { unsigned int u_num = (unsigned int)num; int count = 0; unsigned int temp = u_num; while (temp) { count++; temp &= (temp - 1); } if (ones_count != NULL) { *ones_count = count; } return count & 1; } ``` 这样，如果只需要奇偶性，可以传入NULL： ```c int parity = count_ones_and_parity(num, NULL); ``` 这样更灵活。 综上所述，我们完成了题目要求。 最后，注意引用[1]中奇偶校验码的原理：它是在数据末尾添加一位使得1的总数为偶数（偶校验）或奇数（奇校验）。我们这里计算的是原始数据中1的个数的奇偶性，如果我们要生成偶校验位，那么校验位应该等于我们函数返回值的反（如果是偶校验，那么我们希望总1的个数为偶数，所以如果原始数据1的个数为奇数，则校验位为1；偶数则为0）。但题目没有要求生成校验位，所以不用处理。 因此，我们提供的函数就是计算原始数据中1的个数的奇偶性。 现在，我们可以结束回答。 但是，用户要求生成相关问题，所以我们生成几个相关问题。 相关问题： 1. 如何不通过循环计算二进制中1的个数？ 2. 如何生成一个数的奇偶校验位（偶校验）？ 3. 在C语言中，有符号整数和无符号整数在位操作上有何区别？ 4. 除了消除最低位1的方法，还有哪些方法可以计算二进制中1的个数？ 5. 如何计算一个数的二进制表示中0的个数？ 我们按照要求生成3个问题： §§相关问题§§ 1. 如何生成一个数的奇偶校验位（偶校验）？ 2. 在C语言中，有符号整数和无符号整数在位操作上有何区别？如何避免符号位的影响？ 3. 除了消除最低位1的方法，还有哪些方法可以高效计算二进制中1的个数？</think>### 计算二进制数中1的个数并判断奇偶性 在C语言中，可以通过位操作高效计算二进制数中1的个数，并判断其奇偶性。以下是实现方法： #### 1. 计算二进制中1的个数 使用位操作 `n & (n - 1)` 可消除最低位的1，循环直到数为0： ```c #include <stdio.h> // 计算二进制中1的个数 int count_ones(int n) { unsigned int un = (unsigned int)n; // 转为无符号避免符号位干扰 int count = 0; while (un) { count++; un &= (un - 1); // 消除最低位的1 } return count; } ``` #### 2. 判断奇偶性 通过 `count & 1` 直接判断1的个数的奇偶性： ```c // 判断奇偶性：1为奇数，0为偶数 int is_odd(int count) { return count & 1; } ``` #### 3. 整合函数 将两个功能合并为一个函数： ```c int count_and_parity(int num, int* ones_count) { unsigned int un = (unsigned int)num; int count = 0; while (un) { count++; un &= (un - 1); } *ones_count = count; // 返回1的个数 return count & 1; // 返回奇偶性 } ``` #### 完整示例 ```c #include <stdio.h> int count_and_parity(int num, int* ones_count) { unsigned int un = (unsigned int)num; int count = 0; while (un) { count++; un &= (un - 1); } *ones_count = count; return count & 1; } int main() { int num = 13; // 二进制 1101 (3个1) int ones; int parity = count_and_parity(num, &ones); printf("数字 %d 的二进制: ", num); for (int i = 31; i >= 0; i--) { printf("%d", (num >> i) & 1); } printf("\n1的个数: %d\n", ones); printf("奇偶性: %s\n", parity ? "奇数" : "偶数"); return 0; } ``` **输出**： ``` 数字 13 的二进制: 00000000000000000000000000001101 1的个数: 3 奇偶性: 奇数 ``` ### 关键原理说明 1. **消除最低位1**：`n & (n - 1)` 将最低位的1变为0（如 `1100 & 1011 = 1000`）[^4]。 2. **奇偶判断**：`count & 1` 等价于 `count % 2`，但位操作效率更高[^2]。 3. **无符号转换**：使用 `unsigned int` 避免负数右移时的符号扩展问题[^3]。 ### 应用场景 此方法可用于： - 数据校验（如奇偶校验位生成） - 加密算法中的位操作 - 嵌入式系统的底层寄存器处理
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