48、智能传感器系统信号处理：自适应波束形成、定位与多径分辨率技术

智能传感器系统信号处理：自适应波束形成、定位与多径分辨率技术

1. 信号与噪声子空间投影

在信号处理中，对于矩阵 $A_S$ 中的 $N_S$ 个信号源特征向量，以及矩阵 $A_N$ 中的 $N_N = M + 1 - N_S$ 个噪声特征向量，有 $A^H = A^{-1}$。以下相关等式代表了向噪声和信号子空间的投影矩阵之和：
[
\begin{align }
&(A_S + A_N)(A_S + A_N)^H = A_S A_S^H + A_N A_N^H + A_S A_N^H + A_N A_S^H\
&(A_S + A_N)^H(A_S + A_N) = A_S^H A_S + A_N^H A_N + A_S^H A_N + A_N^H A_S
\end{align }
]
考虑一个具有 $M + 1$ 行和 $N_S$ 列的信号矩阵 $Y$，它表示信号特征向量的线性组合 $Y = A_S Q_S$，其中 $Q_S$ 是任意 $N_S$ 行的可逆方阵。那么，$Y Y^H = Q_S A_S A_S^H Q_S^H = Q_S Q_S^H$。向信号子空间的投影矩阵为：
[
P_S = Y(Y^H Y)^{-1} Y^H = A_S(A_S^H A_S)^{-1} A_S^H
]
这表明信号子空间可表示为信号特征向量的线性组合。若平面波源的信号电平改变，$Y$ 的行所张成的子空间不变，但特征值会根据功率关系改变；若源的方位改变，则子空间也会改变。对于噪声子空间，若定义噪声为 $W = A_N Q_N$，则向噪声子空间的投影矩阵为：
[
P_N =